Zusammenfassung - Modellierung mit Exponentialfunktionen
Das Problem
In der Praxis steht man oft vor folgendem Problem: Es liegen Daten über einen Wachstums- oder Zerfallsprozess vor. Unklar ist, ob der Prozess – zumindest in Teilen – nahezu exponentiell verläuft. Man sieht es den Daten meist direkt nicht an. Auch eine Veranschaulichung im Koordinatensystem hilft oft nicht weiter.
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Wir stellen hier ein Verfahren zur Erkennung und Beschreibung exponentieller Prozesse vor, das auf folgender Grundidee basiert: Die Daten werden so vorverarbeitet, dass exponentielles Verhalten im Ausgangsdatenbestand sich in einem linearen Verhalten des transformierten Datenbestands zeigt. Die hierfür benötigten mathematischen Zusammenhänge werden zunächst vorgestellt.
Eine e-Funktion logarithmieren
Das Applet verdeutlicht einen interessanten Zusammenhang. Im unteren Fenster ist eine e-Funktion $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ mit den einstellbaren Parametern $a$ und $k$ dargestellt. Im oberen Fenster ist die Funktion $h(x) = \ln(g(x))$ grafisch dargestellt. Egal wie man die Parameter $a$ und $k$ wählt, die aus der e-Funktion $g(x)$ resultierende Funktion $h(x)$ ist immer eine lineare Funktion.
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Der Nachweis basiert auf dem Logarithemgesetz $\ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y)$ und der Tatsache, dass die $\ln$-Funktion die Umkehrung zur e-Funktion ist.
$\begin{array}{lrll} h(x) & = & \ln(g(x)) & \text{ nach Voraussetzung} \\ & = & \ln(a \cdot e^{k \cdot x}) & \text{ nach Voraussetzung} \\ & = & \ln(a) + \ln(e^{k \cdot x}) & \text{ mit dem Logarithemgesetz } \ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y) \\ & = & \ln(a) + k \cdot x & \text{ wegen } \ln(e^z) = z \\ & = & m\cdot x + b & \text{ mit b = ln(a) und m = k} \end{array}$
Man erhält somit folgenden Satz:
Logaritmieren einer e-Funktion
Betrachte die e-Funktion $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$. Die Funktion $h(x) = \ln(g(x))$ ist dann eine lineare Funktion mit $h(x) = m \cdot x + b$ mit der Steigung $m = k$ und dem $y$-Abschnitt $b = \ln(a)$.
Eine lineare Funktion exponieren
Im folgenden Applet wird die umgekehrte Situation gezeigt. Im oberen Fenster ist eine lineare Funktion $f(x) = m\cdot x + b$ mit den einstellbaren Parametern $m$ und $b$ dargestellt. Im unteren Fenster ist die Funktion $g(x) = e^{f(x)}$ grafisch dargestellt. Die lineare Funktion $f(x)$ wird hier in eine e-Funktion vom Typ $g(x) = a\cdot e^{k \cdot x}$ transformiert.
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Der Nachweis basiert auf dem Potenzgesetz $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$.
$\begin{array}{lrll} g(x) & = & e^{f(x)} & \text{ nach Voraussetzung} \\ & = & e^{m\cdot x + b} & \text{ nach Voraussetzung} \\ & = & e^{m\cdot x} \cdot e^{b} & \text{ mit dem Potenzgesetz } e^{x+y} = e^x \cdot e^y \\ & = & a\cdot e^{k \cdot x} & \text{ mit } a = e^b \text{ mit } k = m \end{array}$
Man erhält somit folgenden Satz:
Exponieren einer linearen Funktion
Betrachte eine lineare Funktion $f(x) = m\cdot x + b$. Die Funktion $g(x) = e^{f(x)}$ ist dann eine e-Funktion vom Typ $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ mit dem Anfangswert $a = e^b$ und der Wachstumskonstande $k = m$.
Analyse eines Datenbestands
Wir benutzen jetzt diese Zusammenhänge, um exponentielles Wachstum in einem vorgegebenen Datenbestand festzustellen und es mit Hilfe einer e-Funktion zu erfassen.
- In der Tabelle im rechten Fenster ist in der zweiten Spalte die jeweilige Anzahl der neu gemeldeten COVID-Infizierten zu Beginn der ersten Corona-Welle eingetragen. Betrachtet wird hier der Zeitraum vom 01.03.2020 bis zum 31.03.2020. Die Anzahlen sind zusätzlich im Koordinatensystem im unteren Fenster grafisch dargestellt.
- In der dritten Spalte in der Tabelle sind die $\ln$-Werte der Anzahlen in der zweiten Spalte berechnet. Diese $\ln$-Werte sind im Koordinatensystem im oberen Fenster grafisch dargestellt.
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Exponentielles Verhalten des vorgegebenen Datenbestandes zeigt sich in einem linearen Verhalten des logarithmierten Datenbestands. Im oberen Fenster wird ein näherungsweise linearer Teilbereich mit einer Geraden durch die Punkte $A$ und $B$ angezeigt. Die Funktionsgleichung der zur Geraden gehörenden linearen Funktion lässt sich mit den Koordinaten $A(1|5)$ und $B(20|10)$ aufstellen. Man erhält :
$h(x) = \frac{5}{19} (x - 1) + 5 = \frac{5}{19}x + \frac{90}{19}$
Hieraus bestimmt man die e-Funktion wie folgt:
$g(x) = e^{h(x)} \approx 114\cdot e^{0.26\cdot x}$
Diese Funktion beschreibt das Wachstum der COVID-Infizierten im Zeitraum 02.03.2020 bis zum 21.03.2020 recht gut.
