Strukturierung - Beschreibung mit Exponentialfunktionen
Einstieg
Das Applet zeigt einen exponentiellen Wachstumsprozess. Bisher haben wir solche Prozesse mit einigen wenigen Parametern beschrieben. Im vorliegenden Beispiel so:
- Der Anfangsbestand beträgt $0.5$.
- Zur Schrittweite $1$ gehört immer der Wachstumsfaktor $1.2$.
Zum Herunterladen: exponentielleprozesse0.ggb
Die grafische Darstellung verdeutlicht bereits, dass man die Bestandsentwicklung mit einer Funktion beschreiben kann. Wir beschäftigen uns hier jetzt mit folgender Frage:
Leitfrage
Wie beschreibt man exponentielle Prozesse mit Hilfe von Funktionen?
Erarbeitung
Wir betrachten vorerst nur exponentielle Prozesse, bei denen der Wachstumsfaktor zur Schrittweite $1$ vorgegeben ist.
Aufgabe 1
Betrachte den exponentiellen Wachstumsprozess, der im Applet vorgegeben ist.
Zum Herunterladen: exponentielleprozesse1.ggb
(a) Erzeuge mit [Schritt weiter] einige Bestandswerte. Erkläre die an den Pfeilen ergänzten Beschreibungen zur Bestandsentwicklung.
(b) Ergänze im oberen Fenster im Eingabefeld die Funktionsgleichung der Funktion $f$ so, dass der Graph durch die Punkte zur Bestandsentwicklung verläuft.
Hinweis: Eine Potenz wie z.B. $2^3$ wird in der Form 2^3 eingegeben.
Aufgabe 2
Betrachte den exponentiellen Zerfallsprozess, der im Applet vorgegeben ist.
Zum Herunterladen: exponentielleprozesse2.ggb
(a) Erzeuge mit [Schritt weiter] einige Bestandswerte. Erkläre die an den Pfeilen ergänzten Beschreibungen zur Bestandsentwicklung.
(b) Ergänze im oberen Fenster im Eingabefeld die Funktionsgleichung der Funktion $f$ so, dass der Graph durch die Punkte zur Bestandsentwicklung verläuft.
Hinweis: Eine Potenz wie z.B. $2^3$ wird in der Form 2^3 eingegeben.
Aufgabe 3
Ergänze die folgende Verallgemeinerung der betrachteten Beispiele.
Beschreibung exponentieller Prozesse
Gegeben ist ein exponentieller Prozess mit folgenden Parametern:
- Der Anfangsbestand beträgt $a$.
- Zur Schrittweite $1$ gehört immer der Wachstumsfaktor $b$.
Diesen exponentiellen Prozess kann man mit folgender Exponentialfunktion beschreiben:
$f(x) = \dots$
Vertiefung
Wir betrachten jetzt exponentielle Prozesse, bei denen der Wachstumsfaktor zu einer beliebigen Schrittweite vorgegeben ist. Hier ein Beispiel:
- Der Anfangsbestand beträgt $0.5$.
- Zur Schrittweite $4$ gehört immer der Wachstumsfaktor $2$.
Zum Herunterladen: exponentielleprozesse3.ggb
Das Applet verrät bereits, wie man die Berechnungen mit einer Exponentialfunktion beschreiben kann. Aber, wie kommt man auf die Basis $1.189$? Bearbeite hierzu die folgende Aufgabe.
Aufgabe 4
Für die passende Exponentialfunktion zur Beschreibung des exponentiellen Prozesses benötigt man den Wachstumsfaktor $b$ zur Schrittweite $1$. Gegeben ist im vorliegenden Beispiel der Wachstumsfaktor $2$ zur Schrittweite $4$.
(a) Begründe, dass folgende Bedingung hier erfüllt sein muss: $b^4 = 2$.
(b) Löse die Gleichung und vergleiche mit der Angabe im Applet.
(c) Gib die Funktionsgleichung $f(x) = 0.5 \cdot (2^{0.25})^x$ im Applet ein. Warum passt diese Funktionsgleichung hier?
