Vertiefung

Zur Orientierung

Wir betrachten die beiden folgenden Funktionstypen:

• Exponentialfunktionen der Gestalt $f(x) = a \cdot b^{x}$
  mit einer reellen Zahl $a$ und einer positiven reellen Zahl $b$ ungleich $1$.
• (Verallgemeinerte) e-Funktionen der Gestalt $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$
  mit einer reellen Zahl $a$ und einer reellen Zahl $k$ ungleich $0$

Zu klären sind weiterhin folgende Fragen:

Im letzten Abschnitt hast du diese Leitfragen experimentell geklärt. Hier sollst du jetzt die Nachweise führen.

Die Leitfragen klären

Wir betrachten vorerst nur den Fall $a = 1$.

Aufgabe 1

Hier geht es um folgende Fragestellung:

Geg.: e-Funktionen vom Typ $g(x) = e^{k \cdot x}$

Ges.: Exponentialfunktion vom Typ $f(x) = b^x$, so dass $f(x) = g(x)$ gilt

(a) Erläutere die folgende Umformungen. Welches Rechengesetz wird hierbei benutzt?

$\begin{array}{lrll} g(x) & = & e^{k \cdot x} \\ & = & {\left(e^{k}\right)}^x \\ & = & b^x & \text{mit } b = e^k \end{array}$

(b) Benutze diese Umformung, um die gesuchten Exponentialfunktionen zu bestimmen. Vergleiche mit den experimentell gefundenen Ergebnissen.

Geg.: $g(x) = e^{k \cdot x}$	Ges.: $f(x) = b^x$ mit $f(x) = g(x)$
$g(x) = e^{0.5 \cdot x}$
$g(x) = e^{1.5 \cdot x}$
$g(x) = e^{-0.5 \cdot x}$

Aufgabe 2

Hier geht es um die umgekehrte Fragestellung:

Geg.: Exponentialfunktionen vom Typ $f(x) = b^{x}$

Ges.: e-Funktion vom Typ $g(x) = e^{k \cdot x}$, so dass $g(x) = f(x)$ gilt

(a) Erläutere die folgende Umformungen. Welches Rechengesetz wird hierbei benutzt?

$\begin{array}{lrll} f(x) & = & b^x \\ & = & {\left(e^{\ln(b)}\right)}^x \\ & = & e^{\ln(b) \cdot x} \\ & = & e^{k \cdot x} & \text{mit } k = \ln(b) \end{array}$

(b) Benutze diese Umformung, um die e-Funktionen zu bestimmen. Vergleiche mit den experimentell gefundenen Ergebnissen.

Geg.: $f(x) = b^x$	Ges.: $g(x) = e^{k \cdot x}$ mit $g(x) = f(x)$
$f(x) = 2^x$
$f(x) = 1.5^x$
$g(x) = 0.5^x$

Aufgabe 3

Die Vermutung können jetzt als nachgewiesene Ergebnisse formuliert werden. Ergänze den fehlenden Teile im folgenden Satz.