Zusammenfassung - e-Funktion und ln-Funktion
Ausgangspunkt – Ableitung von Exponentialfunktionen
Im letzten Kapitel wurde folgender Zusammenhang hergeleitet:
Ableitung einer Exponentialfunktion
Gegeben ist eine Exponentialfunktion $f$ mit $f(x) = b^x$ (mit einer positiven reellen Zahl $b$, die ungleich $1$ ist). Für die Ableitung $f'(x)$ gilt dann:
$f'(x) = c \cdot b^x$, wobei $c$ eine reelle Zahl ist mit $c = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{2^h - 1}{h}}}$.
Für die Zahl $c$ gilt $c = f'(0)$. D.h., die Zahl $c$ beschreibt die Steigung von Graph $f$ an der Stelle $0$.
Das folgende Applet verdeutlicht diesen Zusammenhang.
Zum Herunterladen: efunktion1.ggb
Eine Funktion $f$ mit $f'(x) = f(x)$
Eine Variation der Basis $b$ lässt vermuten, dass es eine Exponentialfunktion $f(x) = b^x$ gibt, für die $f'(x) = f(x)$ gilt. Im folgenden Applet ist die Basis $b$ entsprechend eingestellt.
Zum Herunterladen: efunktion2.ggb
Den experimentell gefundenen Zusammenhang kann man auch beweisen. Das geht aber über die Darstellung hier hinaus.
Eine besondere Exponentialfunktion
Es gibt eine reelle Zahl $e$, so dass für die Exponentialfunktion $f(x) = e^x$ gilt:
$f'(x) = e^x = f(x)$
Die Zahl $e$ ist eine irrationale Zahl mit $e = 2.718281828459...$.
Wegen ihrer Bedeutung erhalten die Zahl $e$ und die hierauf basierende Exponentialfunktion eigene Namen.
Die Zahl e und die e-Funktion
Die Zahl $e = 2.718281828459...$ heißt Eulersche Zahl. Sie ist eine irrationale Zahl. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Leonhard Euler, der einer der bedeutensten Mathematiker im 18. Jahrhundert war.
Die Exponentialfunktion $f(x) = e^x$ mit der Basis $e$ wird meist e-Funktion und manchmal auch natürliche Exponentialfunktion genannt. Wir schreiben sie gelegentlich in der Form $exp(x) = e^x$.
Die Umkehrfunktion zur e-Funktion
Die e-Funktion $exp$ ordnet einer reellen Zahl $x$ die Potenz $e^x$ zu. Für z.B. $x = 1.74$ erhält man die Zuordnung $exp: 1.74 \rightarrow e^{1.74} \approx 5.68$. In Anwendungen benötigt man oft auch die umgekehrte Zuordnung $e^{1.74} \approx 5.68 \rightarrow 1.74$. Im folgenden Applet erhält man diese umgekehrte Zuordnung durch Drücken der entsprechenden Schaltfläche.
Zum Herunterladen: efunktion3a.ggb
Diese umgekehrte Zuordnung bildet die Umkehrfunktion zur e-Funktion.
Zum Herunterladen: efunktion4.ggb
Im Applet ist der Graph dieser Umkehrfunktion (gelb eingefärbt) zusätzlich zur e-Funktion dargestellt. Auch diese Funktion wird häufig benötigt und erhält daher einen eigenen Namen.
ln-Funktion
Die Umkehrfunktion zur e-Funktion $exp: x \rightarrow e^x$ ist die ln-Funktion $\ln: y \rightarrow x$, die jeder positiven reellen Zahl $y$ die Zahl $x$ zuordnet mit $e^x = y$.
Die ln-Funktion ist die Logarithmusfunktion $log_e$ zur Basis $e$. Sie wird auch natürliche Logarithmusfunktion genannt.
Beachte, dass man den Graph der ln-Funktion aus dem Graph der e-Funktion durch eine Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden erhält.
Die Tatsache, dass die e-Funktion und die ln-Funktion sich invers zueinander verhalten, spiegelt sich in folgenden Gleichungen wider.
Inverses Verhalten von e-Funktion und ln-Funktion
Für alle reellen Zahlen $x$ gilt:
$\ln\left(e^x\right) = x$.
Für alle positiven reellen Zahlen $y$ gilt:
$e^{\ln(y)} = y$.
