Zusammenfassung - Exponentielle Prozesse
Grundeigenschaft exponentieller Prozesse
Exponentieller Prozess
Eine Zuordnung, die jedem x-Wert (aus einer Ausgangsmenge) einen Bestandswert zuordnet, beschreibt einen exponentiellen Prozess genau dann, wenn sie folgende Grundeigenschaft hat: Zur gleichen Schrittweite gehört immer der gleiche Wachstumsfaktor.
Ist der Wachstumsfaktor größer als $1$, so liegt exponentielles Wachstum vor.
Liegt der Wachstumsfaktor zwischen $0$ und $1$, so liegt exponentieller Zerfall vor.
Beispiel: Exponentielles Wachstum beim Papierfalten
Beispiel: Exponentieller Zerfall von Caesium-137
Ein prozentualer Wachstumsprozess mit der prozentualen Wachstumsrate von z.B. $5 \%$ (pro Schrittweite) ist ein exponentieller Wachstumsprozess mit dem Wachstumsfaktor $1 + 0.05 = 1.05$ (zur Schrittweite). Allgemein gilt: Ein prozentualer Wachstumsprozess mit der prozentualen Wachstumsrate von $p \%$ (pro Schrittweite) ist ein exponentieller Wachstumsprozess mit dem Wachstumsfaktor $1 + \frac{p}{100}$ (zur Schrittweite).
Ein prozentualer Abnahmeprozess mit der prozentualen Abnahmerate von z.B. $5 \%$ (pro Schrittweite) ist ein exponentieller Zerfallsprozess mit dem Wachstumsfaktor $1 - 0.05 = 0.95$ (zur Schrittweite). Allgemein gilt: Ein prozentualer Abnahmeprozess mit der prozentualen Abnahmerate von $p \%$ (pro Schrittweite) ist ein exponentieller Zerfallsprozess mit dem Wachstumsfaktor $1 - \frac{p}{100}$ (zur Schrittweite).
Beschreibung exponentieller Prozesse mit Exponentialfunktionen
Betrachte als Beispiel einen exponentiellen Prozess mit folgenden Parametern:
- Der Anfangsbestand beträgt $0.5$.
- Zur Schrittweite $1$ gehört immer der Wachstumsfaktor $1.2$.
Zum Herunterladen: exponentielleprozesse1a.ggb
Das Applet zeigt, dass dieser Prozess mit der Funktionsgleichung $f(x) = 0.5 \cdot 1.2^x$ beschrieben werden kann. Diese Funktion ist eine Exponentialfunktion.
Exponentieller Prozess
Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion $f$ mit $f(x) = a \cdot b^x$ mit der Menge aller reellen Zahlen als Definitionsmenge. Der Anfangswert $a$ ist dabei eine beliebige reelle Zahl. Die Basis $b$ ist eine beliebige positive reelle Zahl ungleich $1$.
Das Applet verdeutlicht die möglichen Graphen von Exponentialfunktionen.
Zum Herunterladen: exponentialfunktionen.ggb
Quellen
- [1]: Grundeigenschaft exponentieller Prozesse - Papierfalten - Urheber: KB - Lizenz: inf-schule.de
- [2]: Grundeigenschaft exponentieller Prozesse - Radioaktiver Zerfall - Urheber: KB - Lizenz: inf-schule.de
