Sicherung und Vertiefung
Die Umkehrfunktion zur e-Funktion
Die e-Funktion $exp$ ordnet einer reellen Zahl $x$ die Potenz $e^x$ zu. Die umgekehrte Zuordnung bildet die Umkehrfunktion zur e-Funktion.
Zum Herunterladen: efunktion4.ggb
Im Applet ist (violett eingefärbt) der Graph der e-Funktion zu sehen. Zusätzlich ist hier der Graph die Umkehrfunktion zur e-Funktion (gelb eingefärbt) dargestellt. Diese Funktion erhält ebenfalls einen eigenen Namen.
ln-Funktion
Die ln-Funktion ist die Umkehrfunktion zur e-Funktion $exp: x \rightarrow e^x$.
Aufgabe 1
Erkläre anhand des Applets die Eigenschaften der ln-Funktion.
- Die ln-Funktion ordnet jeder positiven reellen Zahl $y$ die Zahl $x$ zu mit $e^x = y$.
- Die ln-Funktion ist somit die Logarithmusfunktion $log_e$ zur Basis $e$.
- Der Graph der ln-Funktion entsteht aus dem Graph der e-Funktion durch eine Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden.
Aufgabe 2
Ergänze die Aussagen im folgenden Satz.
e-Funktion und ln-Funktion
Für alle reellen Zahlen $x$ gilt:
$\ln\left(e^x\right) = \dots$.
Für alle positiven reellen Zahlen $y$ gilt:
$e^{\ln(y)} = \dots$.
Aufgabe 3 (für Experten)
Begründe: Für die Ableitung der ln-Funktion gilt: $\ln'(x) = \displaystyle{\frac{1}{x}}$.
