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Sicherung und Vertiefung

Die Umkehrfunktion zur e-Funktion

Die e-Funktion $e x p$ ordnet einer reellen Zahl $x$ die Potenz $e^{x}$ zu. Die umgekehrte Zuordnung bildet die Umkehrfunktion zur e-Funktion.

Zum Herunterladen: efunktion4.ggb

Im Applet ist (violett eingefärbt) der Graph der e-Funktion zu sehen. Zusätzlich ist hier der Graph die Umkehrfunktion zur e-Funktion (gelb eingefärbt) dargestellt. Diese Funktion erhält ebenfalls einen eigenen Namen.

ln-Funktion

Die ln-Funktion ist die Umkehrfunktion zur e-Funktion $e x p : x \to e^{x}$ .

Aufgabe 1

Erkläre anhand des Applets die Eigenschaften der ln-Funktion.

Die ln-Funktion ordnet jeder positiven reellen Zahl $y$ die Zahl $x$ zu mit $e^{x} = y$ .
Die ln-Funktion ist somit die Logarithmusfunktion $l o g_{e}$ zur Basis $e$ .
Der Graph der ln-Funktion entsteht aus dem Graph der e-Funktion durch eine Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden.

Aufgabe 2

Ergänze die Aussagen im folgenden Satz.

e-Funktion und ln-Funktion

Für alle reellen Zahlen $x$ gilt:

$\ln (e^{x}) = \dots$ .

Für alle positiven reellen Zahlen $y$ gilt:

$e^{\ln (y)} = \dots$ .

Aufgabe 3 (für Experten)

Begründe: Für die Ableitung der ln-Funktion gilt: $\ln^{'} (x) = \frac{1}{x}$ .

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