Übungen - Modellieren mit Exponentialfunktionen

Aufgabe 1

Das Wachstum einer Bakterienkultur wird mit folgenden Messdaten beschrieben.

Zeit [min]	Anzahl der Bakterien
0	12
3	14
5	16
7	19
9	23
12	27
15	32
18	41

(a) Handelt es sich hier um exponentielles Wachstum? Untersuche diese Frage, indem du die $\ln$-Werte der Bakterienanzahlen in ein Koordinatensystem einträgst.

(b) Bestimme eine e-Funktion vom Typ $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$, mit dem man das Bakterienwachstum beschreiben kann.

(c) Bestimme mit Hilfe der Funktion $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$, wie lang es dauert, bis die kritische anzahl 1 Million erreicht ist. Gehe dabei davon aus, dass die Bakterienkultur genauso weiterwächst.

Aufgabe 2

Es wird immer wieder von kundigen Experten behauptet, dass die Höhe des Bierschaums bei einem gefüllten Glas exponentiell mit der Zeit abnimmt. Zur Überprüfung der Behauptung wurde eine Messreihe mit einem zylinderförmigem Glas durchgeführt. Dabei wurden folgende Messdaten erzielt.

Zeit [min]	Höhe [cm]
0	18
2	10.5
4	7.9
8	2.1
10	1.6
12	1.4

(a) Handelt es sich hier um einen exponentiellen Zerfallsprozess? Untersuche diese Frage, indem du die $\ln$-Werte der Schaumhöhen in ein Koordinatensystem einträgst.

(b) Bestimme eine e-Funktion vom Typ $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$, mit dem man den Zerfallsprozess beschreiben kann.

(c) Bestimme mit Hilfe der Funktion $g(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ die Halbwertszeit des Zerfallsprozesses.