Erarbeitung - geometrisch-experimentelles Vorgehen

Ableitungen geometrisch abschätzen

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle $x$ kann man geometrisch als Steigung des Funktionsgraphen im zugehörigen Punkt $P(x|f(x))$ deuten. Sie entspricht der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen durch den Punkt $P(x|f(x))$. Wir nutzen diese Zusammenhänge, um Ableitungswerte geometrisch-experimentell zu bestimmen. Hierzu nutzen wir das folgende Applet.

Anleitung für das Applet

• Im Eingabefeld links oben kann man die Funktionsgleichung der zu untersuchenden Exponentialfunktion eingeben. Betrachte zunächst die voreingestellte Exponentialfunktion $f(x)=2^x$.
• Die betrachteten $x$-Werte sind ebenfalls vorgegeben. Die $x$-Werte legen (rot eingefärbte) Punkte auf dem Funktionsgraphen fest. Ziel ist es, die Steigungen des Funktionsgraphen in diesen Punkten abzuschätzen.
• Man könnte die $x$-Werte durch ein Verschieben der rot eingefärbten Punkte verändern. Belasse es vorerst aber bei den voreingestellten $x$-Werten.
• Zur Abschätzung der Steigungen des Funktionsgraphen in den vorgegebenen Punkten dienen die Tangentenschnipsel. Ihre Länge kann man mit dem entsprechenden Schieberegler einstellen. Für eine übersichtliche Darstellung sind kurze Längen geeignet. Für die Ausrichtung der Tangenten sollte man eine größere Länge wählen.
• Die Tangentenschnipsel sind drehbar. Man kann so die Steigung der Tangenten so einstellen, dass sie genau mit den Steigungen des Funktionsgraphen in diesen Punkten übereinstimmen. Versuche nach Augenmaß, die Tangenten passend zum Funktionsgraphen auzurichten. Du erhältst dann Näherungswerte für die Ableitungen an den betrachteten Stellen.
• Die Tangentensteigungen werden jeweils mit $m=\dots$ angezeigt und zusätzlich mit entsprechenden (grün eingefärbten) Punkten im Koordinatensystem dargestellt.
• Zur Kontrolle der Tangentensteigungen kann man einen Kontrollgraph einblenden. Die grün eingefärbten Punkte sollten optimalerweise auf diesem Kontrollgraph liegen. Nutze diese Kontrolle aber erst, nachdem du alle Tangentensteigungen eingestellt hast.

Zum Herunterladen: ableitung_exponentialfunktionen_exp_1.ggb
Das Applet basiert auf dem Applet Ableitung mit Geradenstücken. [1]

Aufgabe 1

Gehe nach der Anleitung für das Applet vor und schätze mit Hilfe der einstellbaren Tangentenschnipsel Ableitungswerte für die im Applet vorgegebene Exponentialfunktion $f(x)=2^x$ ab. Trage die Ergebnisse in der folgenden Tabelle ein.

$x$	$f^{\prime }(x)$ [abgeschätzte Werte]
$0$
$1$
$2$

Kontrolle

• $f^{\prime }(0)\approx 0.7$
• $f^{\prime }(1)\approx 1.4$
• $f^{\prime }(2)\approx 2.8$

Aufgabe 2

Überprüfe folgende Eigenschaft der (abgeschätzten) Ableitungswerte:

Wenn man die Schrittweite um $1$ erhöht, dann verdoppeln sich (in etwa) die Ableitungswerte.

Aufgabe 3

Bestimme mit Hilfe der Werte in der Tabelle und der Eigenschaft in Aufgabe 2 eine Funktionsgleichung für $f^{\prime }(x)$.

Kontrolle

Aus der Eigenschaft zur Schrittweite um $1$ gehört der Wachstumsfaktor $2$ und dem Startwert $f^{\prime }(0)\approx 0.7$ kann man erschließen, dass die Ableitungsfunktion zur Exponentialfunktion $f(x)=2^x$ eine Exponentialfunktion der Gestalt $f^{\prime }(x)=c\cdot 2^x$ ist mit $c=f^{\prime }(0)\approx 0.7$.

Aufgabe 4

Stelle im folgenden Applet die in Aufgabe 3 bestimmte Funktionsgleichung für $f^{\prime }(x)$ ein. Nutze hierfür den Schieberegler für die Zahl $c$. Erkläre anhand des Applets, wie man jetzt erkennt, dass alle Ableitungen richtig abgeschätzt wurden.

Zum Herunterladen: ableitung_exponentialfunktionen_exp_2.ggb Das Applet basiert auf dem Applet Ableitung mit Geradenstücken. [2]