Zusammenfassung – Wachstumsvergleiche
Wachstumsvergleiche als Wettrennen
Zwei Funktionen – wie z.B. die Funktionen $f$ mit $f(x) = x^{10}$ und $g$ mit $g(x) = e^x$ – treten in einem Wettrennen gegeneinander an. Gewonnen hat die Funktion, die eine vorgegebene Grenze $G$ zuerst erreicht. Von besonderem Interesse ist dabei, welche Funktion bei immer größeren Grenzen immer gewinnt. Dieses Wettrennen wird im folgenden Applet veranschaulicht.
Zum Herunterladen: wachstumsvergleich1b.ggb
Mit Hilfe des Applets kann man experimentell folgende Ergebnisse erzielen.
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Wenn die Grenze $G$
klein
ist, dann erreicht die Funktion $f$ mit $f(x) = x^{10}$ zuerst diese Grenze $G$. -
Wenn die Grenze $G$
sehr groß
wird (ab ca. $G = 10^{16}$), dann erreicht die Funktion $g$ mit $g(x) = e^x$ zuerst die Grenze $G$. - Langfristig (d.h. für große Grenzen) gewinnt die Funktion $g$ also immer das Wachstumsrennen gegen die Funktion $f$.
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Präzisierung von Wachstumsvergleichen
Das nächste Applet ermöglicht eine neue Sichtweise auf das oben beschriebene Wachstumswettrennen.
Zum Herunterladen: wachstumsvergleich2.ggb
Im Applet wird der Graph der Funktion $h$ mit $\displaystyle{h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$ dargestellt. Zusätzlich wird eine orange eingefärbte Parallele zur $x$-Achse angezeigt, die den Abstand $1$ zur $x$-Achse hat. In der voreingestellten Skalierung schneidet Graph $h$ die Parallele genau einmal. Dieser Schnittpunkt verdeutlicht eine Stelle $x$ mit $f(x) = g(x)$.
Wenn man wiederholt die Schaltfläche [+] an der $x$-Achse aktiviert, dann erkennt man, dass es bei $x \approx 35$
einen weiteren Schnittpunkt von Graph $h$ mit der Parallele im Abstand $1$ gibt.
Ab diesem Schnittpunkt nähert sich Graph $h$ immer mehr der $x$-Achse.
Das bedeutet, dass ab diesem zweiten Schnittpunkt $g(x) > f(x)$ gilt und die Funktion $g$ somit die Funktion $f$ überholt
.
Ab dem zweiten Schnittpunkt gewinnt also $g$ immer das Wachstumsrennen bei geeignet festgelegter Grenze $G$.
Wir nutzen diese Sichtweise, um Begriffe für Wachstumsvergleiche einzuführen.
Wachstumsvergleiche
Eine Funktion $f$ wächst langfristig langsamer als eine Funktion $g$ genau dann, wenn $\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow 0}$ für $x \rightarrow +\infty$ gilt. Also:
$f$ wächst langfristig langsamer als $g$ genau dann, wenn $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty}{\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}} = 0}$ gilt.
Eine Funktion $g$ wächst langfristig schneller als eine Funktion $f$ genau dann, wenn $f$ langfristig langsamer als $g$ wächst. Also:
$g$ wächst langfristig schneller als $f$ genau dann, wenn $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty}{\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}} = 0}$ gilt.
Wachstumsvergleiche zwischen Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen
Mit Hilfe des Applets oben kann man folgenden Zusammenhang experimentell verdeutlichen.
Wachstumsvergleich – Exponentialfunktion gegen Potenzfunktion
Die Exponentialfunktion $g$ mit $g(x) = e^x$ wächst langfristig schneller als jede Potenzfunktion $f$ mit $f(x) = x^n$ (mit einer natürlichen Zahl $n$). Es gilt:
$\lim\limits_{x \rightarrow + \infty}{\displaystyle{\frac{x^n}{e^x}} = 0}$
Beachte: Im Satz wird die $e$-Funktion als Vertreter der Exponentialfunktionen thematisiert. Die Aussage des Satzes gilt auch für alle anderen Exponentialfunktionen $f(x) = b^x$ mit $b > 1$.
Wachstumsvergleiche zwischen Wurzelfunktionen und Logarithmusfunktionen
Im folgenden Applet beschreibt $f$ die $\ln$-Funktion und $g$ mit $g(x) = x^{\frac{1}{10}} = \sqrt[10]{x}$ eine Wurzelfunktion.
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Das Applet verdeutlicht, dass die $\ln$-Funktion langfristig das Wachstumswettrennen gegen die Wurzelfunktion verliert. Mit dem Applet kann man so folgenden Zusammenhang experimentell verdeutlichen.
Wachstumsvergleich – Logarithmusfunktion gegen Wurzelfunktion
Die Logarithmusfunktion $f$ mit $f(x) = \ln(x)$ wächst langfristig langsamer als jede Wurzelfunktion $g$ mit $g(x) = x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$ (mit einer natürlichen Zahl $n$). Es gilt:
$\lim\limits_{x \rightarrow + \infty}{\displaystyle{\frac{\ln(x)}{x^{\frac{1}{n}}}} = 0}$
Beachte: Im Satz wird die $\ln$-Funktion als Vertreter der Logarithmusfunktionen thematisiert. Die Aussage des Satzes gilt auch für alle anderen Logarithmusfunktionen $f(x) = \log_{b}(x)$ mit $b > 1$.
