Wachstumsvergleich – Logarithmusfunktion gegen Wurzelfunktion
Zur Orientierung
Wir vergleichen hier das Wachstum der $\ln$-Funktion mit dem Wachstum von Wurzelfunktionen. Solche Funktionen sind dafür bekannt, dass sie langsam wachsen.
Experimentell vorgehen
Im folgenden Applet beschreibt $f$ die $\ln$-Funktion und $g$ mit $g(x) = x^{\frac{1}{10}} = \sqrt[10]{x}$ eine Wurzelfunktion. Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: wachstumsvergleich3.ggb
Aufgabe 1
(a) Im Applet ist die Grenze $G = 10$ voreingestellt. Untersuche experimentell, welche Funktion diese Grenze zuerst erreicht. Aktiviere hierzu wiederholt die Schaltfläche [+] an der $x$-Achse.
(b) Betrachte analog jetzt die Grenze $G = 20$ und $G = 30$. Was stellst du fest? Stelle eine Vermutung auf.
Aufgabe 2
(a)
Das nächste Applet zeigt die Situation für $G = 40$.
Deute die Graphen im Kontext Wachstumswettrennen
.
Kläre dabei auch folgende Frage:
Wie weit muss man auf der $x$-Achse gehen, um zu sehen, wer das Wettrennen gewinnt?
(b)
Führe das Wettrennen
auch für z.B. $G = 50$ durch. Was fällt auf?
Beschreibe deine Erkenntnisse.
Zum Herunterladen: wachstumsvergleich3b.ggb
Aufgabe 3
Betrachte auch eine andere Wurzelfunktion, z.B. $g(x) = x^{\frac{1}{20}} = \sqrt[20]{x}$ und $G = 100$.
Welche Funktion gewinnt langfristig die Wachstumswettrennen
?
Ergebnisse sichern
Aufgabe 4
Ergänze die fehlenden Teile im folgenden Satz.
Wachstumsvergleich – Logarithmusfunktion gegen Wurzelfunktion
Die Logarithmusfunktion $f$ mit $f(x) = \ln(x)$ wächst langfristig ... als jede Wurzelfunktion $g$ mit $g(x) = x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$ (mit einer natürlichen Zahl $n$). Es gilt:
$\lim\limits_{x \rightarrow + \infty}{\displaystyle{\frac{\ln(x)}{x^{\frac{1}{n}}}} = \dots}$
Beachte: Im Satz wird die $\ln$-Funktion als Vertreter der Logarithmusfunktionen thematisiert. Die Aussage des Satzes gilt auch für alle anderen Logarithmusfunktionen $f(x) = \log_{b}(x)$ mit $b > 1$. Die Aussagen lassen sich mit Hilfe des Applets oben experimentell verdeutlichen.
