Übungen – Wachstumsvergleiche
Aufgabe 1
Wir ergänzen zunächst die Defintion der Wachstumsvergleiche.
Wachstumsvergleiche
Eine Funktion $f$ wächst langfristig langsamer als eine Funktion $g$ genau dann, wenn $\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow 0}$ für $x \rightarrow +\infty$ gilt.
Eine Funktion $g$ wächst langfristig schneller als eine Funktion $f$ genau dann, wenn $f$ langfristig langsamer als $g$ wächst.
Eine Funktion $f$ wächst langfristig genauso schnell wie eine Funktion $g$ genau dann, wenn $\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow c}$ für $x \rightarrow +\infty$ mit einer Zahl $c > 0$ gilt.
Führe für folgende Funktionen jeweils einen Wachstumsvergleich durch. Stelle zunächst eine Vermutung auf. Überprüfe sie dann im Applet unten.
- $f(x) = x^2$ und $g(x) = e^x$
- $f(x) = x^3$ und $g(x) = x^2$
- $f(x) = x$ und $g(x) = \ln(x)$
- $f(x) = x^2$ und $g(x) = x^2+1$
- $f(x) = x$ und $g(x) = x \cdot \ln(x)$
- $f(x) = 2^x$ und $g(x) = e^x$
- $f(x) = x^3+x^5$ und $g(x) = e^x$
- $f(x) = e^x$ und $g(x) = x^x = e^{\ln(x) \cdot x}$
Zum Herunterladen: wachstumsvergleich1.ggb
