Wachstumsvergleich – Exponentialfunktion gegen Potenzfunktion
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt hast du sicher experimentell folgende Ergebnisse erzielt.
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Wenn die Grenze $G$
klein
ist, dann erreicht die Funktion $f$ mit $f(x) = x^{10}$ zuerst diese Grenze $G$. -
Wenn die Grenze $G$
sehr groß
wird (ab ca. $G = 10^{16}$), dann erreicht die Funktion $g$ mit $g(x) = e^x$ zuerst die Grenze $G$. - Langfristig (d.h. für große Grenzen) gewinnt die Funktion $g$ also immer das Wachstumsrennen gegen die Funktion $f$.
Zum Herunterladen: wachstumsvergleich1b.ggb
Ergebnisse verallgemeinern
Das nächste Applet ermöglicht eine neue Sichtweise auf die oben beschriebenen Wachstumsvergleiche. Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: wachstumsvergleich2.ggb
Aufgabe 2
(a) Im Applet wird der Graph der Funktion $h$ mit $\displaystyle{h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$ dargestellt. Zusätzlich wird eine orange eingefärbte Parallele zur $x$-Achse angezeigt, die den Abstand $1$ zur $x$-Achse hat. In der voreingestellten Skalierung schneidet Graph $h$ die Parallele genau einmal. Deute diesen Schnittpunkt.
(b)
Gibt es weitere Schnittpunkte von Graph $h$ mit der Parallelen im Abstand $1$?
Aktiviere zur Klärung wiederholt die Schaltfläche [+] an der $x$-Achse.
Beschreibe, was man bei diesen Experimenten beobachtet.
Deute auch die Beobachtungen im Kontext Wachstumsrennen
.
Aufgabe 3
Betrachte die e-Funktion $g$ mit $g(x) = e^x$ und eine weitere Potenzfunktion, z.B. $f$ mit $f(x) = x^{20}$. Führe mit Hilfe der Applets auch für diese Funktionen einen Wachstumsvergleich durch. Beschreibe die Ergebnisse.
Ergebnisse sichern
Wir führen zunächst Begriffe für Wachstumsvergleiche ein.
Wachstumsvergleiche
Eine Funktion $f$ wächst langfristig langsamer als eine Funktion $g$ genau dann, wenn $\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow 0}$ für $x \rightarrow +\infty$ gilt. Also:
$f$ wächst langfristig langsamer als $g$ genau dann, wenn $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty}{\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}} = 0}$ gilt.
Eine Funktion $g$ wächst langfristig schneller als eine Funktion $f$ genau dann, wenn $f$ langfristig langsamer als $g$ wächst. Also:
$g$ wächst langfristig schneller als $f$ genau dann, wenn $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty}{\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}} = 0}$ gilt.
Aufgabe 4
Ergänze die fehlenden Teile im folgenden Satz.
Wachstumsvergleich – Exponentialfunktion gegen Potenzfunktion
Die Exponentialfunktion $g$ mit $g(x) = e^x$ wächst langfristig ... als jede Potenzfunktion $f$ mit $f(x) = x^n$ (mit einer natürlichen Zahl $n$). Es gilt:
$\lim\limits_{x \rightarrow + \infty}{\displaystyle{\frac{x^n}{e^x}} = \dots}$
Beachte: Im Satz wird die $e$-Funktion als Vertreter der Exponentialfunktionen thematisiert. Die Aussage des Satzes gilt auch für alle anderen Exponentialfunktionen $f(x) = b^x$ mit $b > 1$. Die Aussagen lassen sich mit Hilfe des Applets oben experimentell verdeutlichen.
