Schnell und langsam wachsende Funktionen

Exponentielles Wachstum

Das Applet zeigt den Graph der $e$-Funktion – aber leider nur ausschnittsweise. Wenn man sich den weiteren Verlauf des Graphen anschauen möchte, kann man mit der Schaltfläche [$\Uparrow$] den gezeigten Ausschnitt nach oben verschieben. Probiere das selbst aus.

Zum Herunterladen: wachstum-efunktion.ggb

Aufgabe 2

Du möchtest dir den Graph bis zu der Stelle anschauen, an der der Graph die Grenze $G = 30$ erreicht. Wie oft muss du die Schaltfläche [$\Uparrow$] aktivieren? Schaffst du das in einer Stunde, wenn du pro Sekunde die Schaltfäche einmal drückst?

Tipp: Vorher ausrechnen ist sinnvoller als ausprobieren.

Zur Kontrolle

Es gilt $e^{30} \approx 10^{13}$.

Wenn man $10$-mal die Schaltfläche aktiviert, dann wird der Ausschnitt ab dem $y$-Wert $100$ angezeigt. Wenn man $100$-mal die Schaltfläche aktiviert, dann wird der Ausschnitt ab dem $y$-Wert $1000$ angezeigt. Man muss also $10^{12}$ man die Schaltfläche aktivieren, um den Ausschnitt ab $e^{30} \approx 10^{13}$ anzuzeigen. Hierfür benötigt man dann $10^{12}$ Sekunden. Das sind $\frac{10^{12}}{60 \cdot 60 \cdot 24 \cdot 365} \approx 31710$ Jahre. Es macht daher keinen Sinn, das Vorhaben anzugehen.

Logarithmisches Wachstum

Das Applet zeigt den Graph der $\ln$-Funktion – aber leider nur ausschnittsweise. Wenn man sich den weiteren Verlauf des Graphen anschauen möchte, kann man mit der Schaltfläche [$\Rightarrow$] den gezeigten Ausschnitt nach rechts verschieben. Probiere das selbst aus.

Zum Herunterladen: wachstum-lnfunktion.ggb

Aufgabe 2

Du möchtest dir den Graph an der Stelle $x = 30$ anschauen. Wie oft muss du die Schaltfläche [$\Uparrow$] aktivieren? Schaffst du das in einer Stunde, wenn du pro Sekunde die Schaltfäche einmal drückst?

Tipp: Nachdenken ist sinnvoller als ausprobieren.

Zur Kontrolle

Die $\ln$-Funktion ist die Umkehrfunktion zur $e$-Funktion. Die Fragestellung entspricht daher der Fragestellung in Aufgabe 1. Man erhält daher auch analoge Antworten.

Die Gleichung $\ln(x) = 30$ führt zur Lösung $x = e^{30} \approx 10^{13}$.

Man muss also $10^{12}$ man die Schaltfläche aktivieren, um den gesuchten Ausschnitt anzuzeigen. Hierfür benötigt man $10^{12}$ Sekunden. Das sind $\frac{10^{12}}{60 \cdot 60 \cdot 24 \cdot 365} \approx 31710$ Jahre. Es macht daher keinen Sinn, das Vorhaben anzugehen.