Vertiefung - Bestimmung eines Gegenschlüssels
Zur Orientierung
Ziel ist es hier, einen Geheimcode zu knacken, der mit dem Matrixmultiplikationsverfahren verschlüsselt wurde. Die dabei benutzte Schlüsselmatrix ist bekannt: $S = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Nicht bekannt ist dagegen die Gegenschlüsselmatrix $S'$. Ohne Plan ist es ganz schön schwer, den Gegenschlüssel $S'$ zu ermitteln. Du kannst es gerne im Applet versuchen.
Zum Herunterladen: entschluesselung2b.ggb
Leitfrage
Wie kann man beim Matrixmultiplikationsverfahren aus der Schlüsselmatrix $S$ die Gegenschlüsselmatrix $S'$ bestimmen?
Die Rolle der Einheitsmatrix klären
Als Ausgangspunkt betrachten wir noch einmal das Ver- und Entschlüsselungsbeispiel aus dem letzten Abschnitt. Folgende Matrixproduktberechnungen wurden im letzten Abschnitt durchgeführt.
Zusamenspiel von Schlüsselmatrix $S$ und Gegenschlüsselmatrix $S'$:
$\underbrace{\begin{pmatrix} -2 & 1\\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}}_{S'} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}}_{S} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{E}$
Verhalten der Matrix $E$:
$\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{E} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 72 & 97 & 108 \\ 108 & 111 & 0 \end{pmatrix}}_{M} = \underbrace{\begin{pmatrix} 72 & 97 & 108 \\ 108 & 111 & 0 \end{pmatrix}}_{M}$
Die Matrix $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ wird Einheitsmatrix genannt.
Aufgabe 1
Die Einheitsmatrix $E$ ist eine besondere Matrix. Teste im folgenden Beispiel, welche Matrix man erhält, wenn man das Produkt $E \cdot M$ bildet. Formuliere auch eine allgemeine Regel.
$\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{E} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 174 & 219 & 217 & 227 & 124 \\ 72 & 105 & 116 & 122 & 101 \end{pmatrix}}_{M} = \dots$Einen Gegenschlüssel bestimmen
In Analogie zum Schlüssel-Gegenschlüssel-Paar aus dem letzten Abschnitt soll jetzt die Gegenschlüsselmatrix $S'$ zur Schlüsselmatrix $S$ so bestimmt werden, dass $S' \cdot S = E$ gilt.
$\underbrace{\begin{pmatrix} x & y \\ u & v \end{pmatrix}}_{S'} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}}_{S} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{E}$
Ziel ist es, Werte für die Variablen $a$, $b$, $c$ und $d$ zu bestimmen.
Wenn man das Matrixprodukt bildet, ergeben sich $4$ Gleichungen.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & + & y & = & 1 \\ [2] &\quad \dots & + & \dots & = & \dots \\ [3] &\quad \dots & + & \dots & = & \dots \\ [4] &\quad \dots & + & \dots & = & \dots \end{array}$
Aufgabe 2
(a) Ergänze die fehlenden Teile in den Gleichungen.
(b) Bestimme mit Hilfe der Gleichungen Werte für die Variablen $x$, $y$, $u$ und $v$.
Aufgabe 3
Mit den Werten für die Variablen $x$, $y$, $u$ und $v$ hast du die Gegenschlüsselmatrix $S'$ bestimmt. Setze sie im Applet oben ein. Wenn du alles richtig gemacht hast, dann solltest die entschlüsselte Nachricht lesbar sein.
