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Vertiefung - Bestimmung eines Gegenschlüssels

Zur Orientierung

Ziel ist es hier, einen Geheimcode zu knacken, der mit dem Matrixmultiplikationsverfahren verschlüsselt wurde. Die dabei benutzte Schlüsselmatrix ist bekannt: S=(1110). Nicht bekannt ist dagegen die Gegenschlüsselmatrix S. Ohne Plan ist es ganz schön schwer, den Gegenschlüssel S zu ermitteln. Du kannst es gerne im Applet versuchen.

Zum Herunterladen: entschluesselung2b.ggb

Leitfrage

Wie kann man beim Matrixmultiplikationsverfahren aus der Schlüsselmatrix S die Gegenschlüsselmatrix S bestimmen?

Die Rolle der Einheitsmatrix klären

Als Ausgangspunkt betrachten wir noch einmal das Ver- und Entschlüsselungsbeispiel aus dem letzten Abschnitt. Folgende Matrixproduktberechnungen wurden im letzten Abschnitt durchgeführt.

Zusamenspiel von Schlüsselmatrix S und Gegenschlüsselmatrix S:

(211.50.5)S(1234)S=(1001)E

Verhalten der Matrix E:

(1001)E(72971081081110)M=(72971081081110)M

Die Matrix E=(1001) wird Einheitsmatrix genannt.

Aufgabe 1

Die Einheitsmatrix E ist eine besondere Matrix. Teste im folgenden Beispiel, welche Matrix man erhält, wenn man das Produkt EM bildet. Formuliere auch eine allgemeine Regel.

(1001)E(17421921722712472105116122101)M=

Einen Gegenschlüssel bestimmen

In Analogie zum Schlüssel-Gegenschlüssel-Paar aus dem letzten Abschnitt soll jetzt die Gegenschlüsselmatrix S zur Schlüsselmatrix S so bestimmt werden, dass SS=E gilt.

(xyuv)S(1110)S=(1001)E

Ziel ist es, Werte für die Variablen a, b, c und d zu bestimmen.

Wenn man das Matrixprodukt bildet, ergeben sich 4 Gleichungen.

[1]x+y=1[2]+=[3]+=[4]+=

Aufgabe 2

(a) Ergänze die fehlenden Teile in den Gleichungen.

(b) Bestimme mit Hilfe der Gleichungen Werte für die Variablen x, y, u und v.

Aufgabe 3

Mit den Werten für die Variablen x, y, u und v hast du die Gegenschlüsselmatrix S bestimmt. Setze sie im Applet oben ein. Wenn du alles richtig gemacht hast, dann solltest die entschlüsselte Nachricht lesbar sein.

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