Einstieg - Matrizen
Einen Begriff für Zahlenschemata einführen
Im letzten Kapitel wurde ein Zahlenschema benutzt, um die täglichen Verkaufszahlen an Eiskugeln zu beschreiben.
Beispiel: Tägliche Verkaufszahlen an Eiskugeln an den Tagen MO-DO
$ \begin{matrix} & \begin{matrix} \color{gray} E & \;\;\; \color{gray} H & \;\;\; \color{gray} M & \color{gray} \;\;\; Z \end{matrix} \\ \begin{matrix} \color{gray} F1 \\ \color{gray} F2 \\ \color{gray} F3 \end{matrix} & \;\; \underbrace{ \begin{pmatrix} 400 & 150 & 120 & 160 \\ 250 & 80 & 100 & 100 \\ 300 & 150 & 100 & 200 \end{pmatrix} }_{\text{Verkaufsmatrix}} \end{matrix} $
Solche Zahlentabellen kommen immer wieder in Anwendungssituationen vor. Wir beschreiben sie daher mit einem neuen Begriff.
Definition
Eine Matrix (Plural: Matrizen) ist ein rechteckiges Tabellenschema bestehend aus reellen Zahlen. Wenn $m$ die Anzahl der Zeilen und $n$ die Anzahl der Spalten beschreibt, dann spricht man auch von einer $m \times n$-Matrix. Die Zahlen, aus denen eine Matrix besteht, nennt man auch Elemente oder Komponenten der Matrix.
Übliche Darstellung:
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$
Matrizen werden mit Großbuchstaben gekennzeichnet, die Matrixelemente mit Kleinbuchstaben und Indices zur Beschreibung der Positionen innerhalb des Rechteckschemas.
Beispiel: Verkaufszahlenmatrix im Kontext Eiskugeln
$V1 = \begin{pmatrix} 400 & 150 & 120 & 160 \\ 250 & 80 & 100 & 100 \\ 300 & 150 & 100 & 200 \end{pmatrix}$
Diese Matrix besteht aus $3$ Zeilen und $4$ Spalten. Es handelt sich also um eine $3 \times 4$-Matrix.
Zusammenhänge zum Vektorbegriff herstellen
Das Matrixkonzept stellt eine Verallgemeinerung des Vektorkonzepts dar. Die folgenden Aufgaben verdeutlichen das exemplarisch.
Aufgabe 1
Ergänze die folgenden Sätze:
- Die Matrix $\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5 \\ -1 & 3 & 3 \\ 7 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ besteht aus den Spaltenvektoren $\left(\begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ 7 \\ 3 \end{array}\right)$, ....
- Die Matrix $\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5 \\ -1 & 3 & 3 \\ 7 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ besteht aus den Zeilenvektoren $\left(\begin{array}{c} 4 \quad 2 \quad 5 \end{array}\right)$, ....
Aufgabe 2
Ein Vektor kann als Matrix angesehen werden. Ergänze die folgenden Sätze:
- Der Vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ kann als ...-Matrix gedeutet werden.
- Der Vektor $\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ kann als ...-Matrix gedeutet werden.
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