Übungen - Das Matrix-Vektor-Produkt

Aufgabe 1

Die Eisdiele Gelato Matrice verkauft jetzt auch Eisboxen.

Die folgenden Tabellen geben die Verkaufszahlen für einen Monat sowie die Preise der Eisboxen an.

Verkauszahlen pro Woche	Preise der Eisboxen
2 l 1 l 0.5 l Woche 1 75 90 70 Woche 2 50 60 45 Woche 3 80 100 90 Woche 4 85 70 50	Preis 2 l 34.50 € 1 l 19.50 € 0.5 l 11.50 €

Die Daten in den Tabellen werden mit einer Verkaufszahlenmatrix $V$ und einem Preisvektor $\vec{p}$ beschrieben:

$V = \begin{pmatrix} 75 & 90 & 70 \\ 50 & 60 & 45 \\ 80 & 100 & 90 \\ 85 & 70 & 50 \end{pmatrix}$ ; $\vec{p} = \begin{pmatrix} 34.50 \\ 19.50 \\ 11.50 \end{pmatrix}$

(a) Berechne das Produkt $V \cdot \vec{p}$.

(b) Beschreibe und erkläre, welche Daten das Produkt $V \cdot \vec{p}$ liefert.

Aufgabe 2

Ein Online-Fotolabor bietet Jahreskalender in verschiedenen Formaten und Druckvarianten an. Die Tabelle zeigt die jeweilgen Preise (in Euro).

	Format A4	Format A3	Format A2
Digitaldruck Matt	12	23	40
Digitaldruck Hochglanz	18	28	45

Eine Firma möchte für ihre Büros 20 Kalender im A4-Format, 25 Kalender im A3-Format und 5 Kalender im A2-Format bestellen. Die Firma möchte vorab wissen, welche Kosten auf sie zukommt, wenn sie den billigeren Matt-Druck oder den teureren Hochglanz-Druck wählt. Führe die Kostenrechnung mit einem Matrix-Vektor-Produkt aus.

Aufgabe 3

In dieser Aufgabe greifen wir folgende (Operator-) Sichtweise auf: Eine Matrix macht etwas mit einem Vektor, wenn man sie mit dem Vektor multipliziert.

(a) Wir vervielfachen den zu verarbeitenden Vektor. Ergänze die fehlenden Teile in der Übersicht. Was fällt auf? Formuliere deine Beobachtung.

Übergabe eines Vektors		Verarbeitung mit der Matrix		Rückgabe eines Vektors
$\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$	$\rightarrow$	$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$	$\rightarrow$	$\begin{pmatrix} 16 \\ 32 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$	$\rightarrow$	$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$	$\rightarrow$	$\begin{pmatrix} \cdots \\ \cdots \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 15 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$	$\rightarrow$	$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$	$\rightarrow$	$\begin{pmatrix} \cdots \\ \cdots \end{pmatrix}$

(b) Man kann allgemein zeigen, dass folgende Regel gilt:

$A \cdot (r \cdot \vec{v}) = r \cdot (A \cdot \vec{v})$

Erkläre mit Hilfe der Berechnungen in der Übersicht, was diese Regel ausdrückt.

Aufgabe 4

(a) Wir bilden die Summe von zwei zu verarbeitenden Vektoren. Ergänze die fehlenden Teile in der Übersicht. Was fällt auf? Formuliere deine Beobachtung.

Übergabe eines Vektors		Verarbeitung mit der Matrix		Rückgabe eines Vektors
$\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$	$\rightarrow$	$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$	$\rightarrow$	$\begin{pmatrix} 16 \\ 32 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$	$\rightarrow$	$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$	$\rightarrow$	$\begin{pmatrix} -8 \\ -8 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$	$\rightarrow$	$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$	$\rightarrow$	$\begin{pmatrix} \cdots \\ \cdots \end{pmatrix}$

(b) Man kann allgemein zeigen, dass folgende Regel gilt:

$A \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = A \cdot \vec{u} + A \cdot \vec{v}$

Erkläre mit Hilfe der Berechnungen in der Übersicht, was diese Regel ausdrückt.

Aufgabe 5

(a) Verdeutliche anhand eines Beispiels, dass auch folgende Regel gilt:

$(A + B) \cdot \vec{v} = A \cdot \vec{v} + B \cdot \vec{v}$

(b) Verdeutliche anhand eines Beispiels, dass auch folgende Regel gilt:

$(r \cdot A) \cdot \vec{v} = r \cdot (A \cdot \vec{v})$