Übungen - Inverse Matrix

Aufgabe 1

Überprüfe, ob es zu den folgenden Matrizen inverse Matrizen gibt.

(a)

$\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

(b)

$\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

Aufgabe 2

Gegeben ist eine Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 4\end{array}\right)$ und die inverse Matrix $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-4& 3\\ 3& -2\end{array}\right)$,

(a) Löse mit Hilfe der inversen Matrix die folgende Matrixgleichung:

$A\cdot X=B$ mit $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$

Kontrolliere dein Ergebnis mit einer Probe.

(b) Löse mit Hilfe der inversen Matrix die folgende Matrixgleichung:

$X\cdot A=B$ mit $B=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& -2\end{array}\right)$

Kontrolliere dein Ergebnis mit einer Probe.

Aufgabe 3

Zeige mit geeigneten Rechengesetzen, dass für passende invertierbare Matrizen $A$ und $B$ folgender Zusammenhang gilt:

$A^{-1}\cdot (A+B)\cdot B^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$

Aufgabe 4

Kann es zu einer Matrix $A$ zwei verschiedene inverse Matrizen $X$ und $Y$ geben? Erläutere die folgende Argumentation.

Wenn $X$ und $Y$ inverse Matrizen zu $A$ sind, dann gilt: $A\cdot X=E$ und $Y\cdot A=E$

Wenn man die Gleichung $A\cdot X=E$ von links mit $Y$ multipliziert, erhält man: $Y\cdot (A\cdot X)=Y\cdot E$.

Das kann man so vereinfachen: $Y\cdot (A\cdot X)=Y$.

Mit dem Assoziativgesetz erhält man: $(Y\cdot A)\cdot X=Y$.

Da $Y\cdot A=E$, erhält man: $E\cdot X=Y$.

Hieraus erhält man $X=Y$.