Übungen - Inverse Matrix

Aufgabe 1

Überprüfe, ob es zu den folgenden Matrizen inverse Matrizen gibt.

(a)

$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(b)

$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Aufgabe 2

Gegeben ist eine Matrix $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ und die inverse Matrix $A^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$,

(a) Löse mit Hilfe der inversen Matrix die folgende Matrixgleichung:

$A \cdot X = B$ mit $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

Kontrolliere dein Ergebnis mit einer Probe.

(b) Löse mit Hilfe der inversen Matrix die folgende Matrixgleichung:

$X \cdot A = B$ mit $B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

Kontrolliere dein Ergebnis mit einer Probe.

Aufgabe 4

Zeige mit geeigneten Rechengesetzen, dass für passende invertierbare Matrizen $A$ und $B$ folgender Zusammenhang gilt:

$A^{-1} \cdot (A + B) \cdot B^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$

Aufgabe 5

Kann es zu einer Matrix $A$ zwei verschiedene inverse Matrizen $X$ und $Y$ geben? Erläutere die folgende Argumentation.

Wenn $X$ und $Y$ inverse Matrizen zu $A$ sind, dann gilt: $A \cdot X = E$ und $Y \cdot A = E$

Wenn man die Gleichung $A \cdot X = E$ von links mit $Y$ multipliziert, erhält man: $Y \cdot (A \cdot X) = Y \cdot E$.

Das kann man so vereinfachen: $Y \cdot (A \cdot X) = Y$.

Mit dem Assoziativgesetz erhält man: $(Y \cdot A) \cdot X = Y$.

Da $Y \cdot A = E$, erhält man: $E \cdot X = Y$.

Hieraus erhält man $X = Y$.