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Zusammenfassung - Multiplikation von Matrizen

Die Grundidee

Wir betrachten eine Situation, bei der 5 Schulen 3 verschiedene Wahlessen bestellen, die aus V(orspeisen), F(leisch/Fisch-Prionen), B(eilagen) und N(achtischen) bestehen können. Der folgende Verflechtungsgraph zeigt ein Bestellmodell.

Aus den vorgegebenen Daten soll ermittelt werden, wie viele Essenskomponenten an die jeweilgen Schulen geliefert werden müssen.

Alle vorgegebenen Daten kann man mit Hilfe von zwei Matrizen darstellen.

Bestellmatrix $B$	Komponentenmatrix $K$
$\begin{matrix} \begin{matrix} M 1 & M 2 & M 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} S 1 \\ S 2 \\ S 3 \\ S 4 \\ S 5 \end{matrix} & \underset{Bestellmatrix}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 120 & 180 & 80 \\ 200 & 300 & 150 \\ 160 & 180 & 100 \\ 80 & 80 & 40 \\ 220 & 200 & 160 \end{matrix})}} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \begin{matrix} V & F & B & N \end{matrix} \\ \begin{matrix} M 1 \\ M 2 \\ M 3 \end{matrix} & \underset{Komponentenmatrix}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{matrix})}} \end{matrix}$
Das Catering-Team bietet drei Menüs an: M1, M2 und M3. Diese Menüs werden an die fünf Schulen S1, ..., S5 geliefert. Die Bestellmatrix $B$ gibt an, wie viele Menüs von den jeweiligen Schulen bestellt worden sind.	Die Menüs werden aus den Komponenten V (für Vorspeise), F (für Fleisch/Fisch-Portion), B (für Beilage) und N (für Nachtisch) zusammegestellt. Die Komponentenmatrix $K$ gibt an, aus welchen Komponenten die Menüs zusammengesetzt sind.

Die an die Schulen zu liefernden Essenskomponenten kann man aus der Bestellmatrix $B$ und der Komponentenmatrix $K$ mit Hilfe des Matrix-Vektor-Produkts berechnen.

Lieferung der Vorspeisen	Lieferung der Fleisch/Fisch-Portionen	Lieferung der Beilagen	Lieferung der Nachtische
$(\begin{matrix} 120 & 180 & 80 \\ 200 & 300 & 150 \\ 160 & 180 & 100 \\ 80 & 80 & 40 \\ 220 & 200 & 160 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) =$	$(\begin{matrix} 120 & 180 & 80 \\ 200 & 300 & 150 \\ 160 & 180 & 100 \\ 80 & 80 & 40 \\ 220 & 200 & 160 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) =$	$(\begin{matrix} 120 & 180 & 80 \\ 200 & 300 & 150 \\ 160 & 180 & 100 \\ 80 & 80 & 40 \\ 220 & 200 & 160 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) =$	$(\begin{matrix} 120 & 180 & 80 \\ 200 & 300 & 150 \\ 160 & 180 & 100 \\ 80 & 80 & 40 \\ 220 & 200 & 160 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) =$
$(\begin{matrix} 200 \\ 350 \\ 260 \\ 120 \\ 280 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 120 \\ 200 \\ 160 \\ 80 \\ 220 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 680 \\ 1150 \\ 780 \\ 360 \\ 900 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 260 \\ 450 \\ 280 \\ 120 \\ 260 \end{matrix})$

Wir fassen die Ergebnisse dierer Berechnungen zu einer Lieferungsmatrix $L$ zusammen.

Bestellmatrix $B$	Komponentenmatrix $K$	Lieferungsmatrix $L$
$\begin{matrix} \begin{matrix} M 1 & M 2 & M 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} S 1 \\ S 2 \\ S 3 \\ S 4 \\ S 5 \end{matrix} & \underset{Bestellmatrix}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 120 & 180 & 80 \\ 200 & 300 & 150 \\ 160 & 180 & 100 \\ 80 & 80 & 40 \\ 220 & 200 & 160 \end{matrix})}} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \begin{matrix} V & F & B & N \end{matrix} \\ \begin{matrix} M 1 \\ M 2 \\ M 3 \end{matrix} & \underset{Komponentenmatrix}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{matrix})}} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \begin{matrix} V & F & B & N \end{matrix} \\ \begin{matrix} S 1 \\ S 2 \\ S 3 \\ S 4 \\ S 5 \end{matrix} & \underset{Lieferungsmatrix}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 200 & 120 & 680 & 260 \\ 350 & 200 & 1150 & 450 \\ 260 & 160 & 780 & 280 \\ 120 & 80 & 360 & 120 \\ 380 & 220 & 1000 & 360 \end{matrix})}} \end{matrix}$
Das Catering-Team bietet drei Menüs an: M1, M2 und M3. Diese Menüs werden an die fünf Schulen S1, ..., S5 geliefert. Die Bestellmatrix $B$ gibt an, wie viele Menüs von den jeweiligen Schulen bestellt worden sind.	Die Menüs werden aus den Komponenten V (für Vorspeise), F (für Fleisch/Fisch-Portion), B (für Beilage) und N (für Nachtisch) zusammegestellt. Die Komponentenmatrix $K$ gibt an, aus welchen Komponenten die Menüs zusammengesetzt sind.	Die Lieferungsmatrix $L$ gibt an, wie viele Essenskomponenten an die Schulen geliefert werden müssen. Diese Matrix kombiniert die Daten der Bestellmatrix mit denen der Komponentenmatrix. Man könnte sie also auch als Komponentenbestellmatrix bezeichnen.

Die Erzeugung der Lieferungsmatrix $L$ aus der Bestellmatrix $B$ und der Komponentenmatrix $K$ lässt sich mit einer Matrixmultiplikation beschreiben.

Zum Herunterladen: komponentenrechner2.ggb

Das Matrixprodukt

Das folgende Applet verdeutlicht, wie man zwei Matrizen miteinander multipliziert.

Anleitung für das Applet

Die zu multiplizierenden Matrizen $A$ und $B$ kann man mit Hilfe von Schieberglern dimensionieren. Beachte: Die Ergebnismatrix $C$ erscheint nur bei passend gewählten Einstellungen. Warum das so ist, sollst du in den Aufgaben selbst herausfinden.
Die Elemente der Matrizen $A$ und $B$ kann man selbst in den entsprechenden Feldern eingeben.
In der (blau dargestellten) Ergebnismatrix befindet sich ein blauer Punkt. Mit diesem Punkt kann man ein Element der Ergebnismatrix auswählen. Im unteren Bereich wird dann angezeigt, wie die Berechnung des ausgewählten Elements zustande kommt.

Zum Herunterladen: matrixmatrixprodukt.ggb

Beachte: Die Multiplikation $A \cdot B$ der beiden Matrizen $A$ und $B$ ist nur möglich, wenn die Spaltenanzahl von $A$ mit der Zeilenanzahl von $B$ übereinstimmt.

Definition:

Ist $A$ eine $m \times n$ -Matrix und $B$ eine $n \times k$ -Matrix, dann ergibt das Matrixprodukt $A \cdot B$ eine $m \times k$ -Matrix $C$ nach folgender Rechenregel:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 k} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 k} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{m 1} & c_{m 2} & \dots & c_{m k} \end{matrix})$

Das Element $c_{i j}$ der Matrix $C$ erhält man, indem man die Elemente der $i$ -ten Zeile von $A$ mit den Elementen der $j$ -ten Spalte von $B$ miteinander multipliziert und alle Produkte aufaddiert:

$c_{i j} = a_{i 1} \cdot b_{1 j} + \dots + a_{i n} \cdot b_{n j}$

Beispiel 1

$(\begin{matrix} 3 & - 1 & 1 \\ 4 & 2 & 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ - 4 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 & 3 \\ - 12 & 21 \end{matrix})$

Beispiel 2

$(\begin{matrix} 4 & 5 \\ 2 & - 1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & - 1 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 23 & 7 & 22 \\ 1 & 7 & 4 \\ 8 & 1 & 7 \\ 15 & 6 & 15 \end{matrix})$

Quellen

[1]: Daten zur Essensbestellung - Urheber: KB -