Vertiefung - Rechengesetze
Zielsetzung
Für das Rechnen mit Matrizen gelten dieselben Rechengesetze wie für das Rechnen mit Vektoren. Im Folgenden werden wir diese Rechenregeln kurz zusammengestellt.
Rechenregeln an Beispielen verdeutlichen
Für das Rechnen mit Matrizen gelten die gängigen Rechengesetze.
| Bezeichnung | Rechengesetz | Verdeutlichung am Beispiel |
|---|---|---|
|
Kommutativgesetz Matrix + Matrix |
$M_1 + M_2 = M_2 + M_1$ |
$\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
5 & -1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-2 & 4
\end{pmatrix}
= \dots$
$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} = \dots$ |
|
Assoziativgesetz (Matrix + Matrix) + Matrix |
$(M_1 + M_2) + M_3 = M_1 + (M_2 + M_3)$ | |
|
Assoziativgesetz (Zahl $\cdot$ Zahl) $\cdot$ Matrix |
$(r \cdot s) \cdot M = r \cdot [ s \cdot M ]$ | |
|
Distributivgesetz Zahl $\cdot$ (Matrix + Matrix) |
$r \cdot (M_1 + M_2) = r \cdot M_1 + r \cdot M_2$ | |
|
Distributivgesetz (Zahl + Zahl) $\cdot$ Matrix |
$(r+s) \cdot M = r \cdot M + s \cdot M$ |
Aufgabe 1
Verdeutliche die Gültigkeit der Gesetze anhand selbst gewählter Beispiele. Ergänze die fehlenden Einträge auf dem Wissensspeicher. Orientiere dich dabei am Beispiel für das Kommutativgesetz.
Besondere Matrizen betrachten
Genau wie beim Rechnen mit Zahlen gibt es auch beim Rechnen mit Matrizen besondere Matrizen.
Aufgabe 3
Ergänze die fehlenden Teile in der Übersicht.
| Bezeichnung | Verdeutlichung am Beispiel |
|---|---|
| Addition der Nullmatrix | $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix}$ |
| Addition der Gegenmatrix | $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ |
