Vertiefung - Rechengesetze
Zur Orientierung
Wenn man mit Zahlen rechnet, dann verwendet man oft Rechenregeln, z.B.: $17 \cdot 14 - 17 \cdot 12 = 17 \cdot (14 - 12) = \dots$. Die Rechnung wird hier einfacher, wenn man das Distributivgesetz anwendet.
Zielsetzung
Für das Rechnen mit Vektoren wäre es von Vorteil, wenn man auch hierfür Rechenregeln zur Verfügung hätte. Im Folgenden werden wir diese Rechenregeln herleiten.
Rechenregeln an Beispielen verdeutlichen
Für das Rechnen mit Vektoren gelten die gängigen Rechengesetze.
| Bezeichnung | Rechengesetz | Verdeutlichung am Beispiel |
|---|---|---|
|
Kommutativgesetz Vektor + Vektor |
$\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)$ |
$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) +
\left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right)$ |
|
Assoziativgesetz (Vektor + Vektor) + Vektor |
$\left[\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right)\right] + \left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left[\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{array}\right)\right]$ | ... |
|
Assoziativgesetz (Zahl $\cdot$ Zahl) $\cdot$ Vektor |
$(r \cdot s) \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) = r \cdot \left[ s \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)\right]$ | ... |
|
Distributivgesetz Zahl $\cdot$ (Vektor + Vektor) |
$r \cdot \left[\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right)\right] = r \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right)$ | ... |
|
Distributivgesetz (Zahl + Zahl) $\cdot$ Vektor |
$(r+s) \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) = r \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)$ | ... |
Aufgabe 1
Verdeutliche die Gültigkeit der Gesetze anhand selbst gewählter Beispiele. Ergänze die fehlenden Einträge auf dem Wissensspeicher. Orientiere dich dabei am Beispiel für das Kommutativgesetz.
Besondere Vektoren betrachten
Genau wie beim Rechnen mit Zahlen gibt es auch beim Rechnen mit Vektoren besondere Vektoren.
Aufgabe 2
Ergänze die fehlenden Teile in der Übersicht.
| Bezeichnung | Rechengesetz | Verdeutlichung am Beispiel |
|---|---|---|
| Addition des Nullvektors | $\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} \dots \\ \dots \\ \vdots \\ \dots \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)$ | $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} \dots \\ \dots \\ \dots \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right)$ |
| Addition des Gegenvektors | $\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} \dots \\ \dots \\ \vdots \\ \dots \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right)$ | $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} \dots \\ \dots \\ \dots \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ |
