Erarbeitung - Einheitsmatrix und inverse Matrizen

Zur Orientierung

Neutrale Elemente für die Matrixmultiplikation bestimmen

Für die Matrixmultiplikation gilt das Kommutativgesetz nicht. Wir müssen daher immer eine Multiplikation von links und von rechts betrachten. Gesucht sind demnach Matrizen $E$, für die $E\cdot A=A$ und $A\cdot E=A$ für alle zu $E$ passenden Matrizen $A$ gilt.

Aufgabe 1

(a) Begründe: Es gibt keine Matix $E$, die folgende Bedingung erfüllt:

$\underset{E}{\underbrace{\dots }}\cdot \underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\\ 3& 3\end{array}\right)}}=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\\ 3& 3\end{array}\right)}}$ und $\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\\ 3& 3\end{array}\right)}}\cdot \underset{E}{\underbrace{\dots }}=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\\ 3& 3\end{array}\right)}}$

(b) Betrachte jetzt die Multiplikation quadratischer Matrizen. Das sind Matrizen, die genauso viele Zeilen wie Spalten haben. Ergänze die fehlenden Komponenten der Matrix $E$.

$\underset{E}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& \cdots \\ \cdots & \cdots \end{array}\right)}}\cdot \underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\end{array}\right)}}=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\end{array}\right)}}$ und $\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\end{array}\right)}}\cdot \underset{E}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& \cdots \\ \cdots & \cdots \end{array}\right)}}=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\end{array}\right)}}$

Aufgabe 2

Verdeutliche die folgenden verallgemeinernden Aussagen anhand des betrachteten Beispiels.

Inverse Elemente bei der Matrixmultiplikation bestimmen

Gesucht ist für eine Matrix $A$ eine weitere Matrix $A^{\prime }$ mit folgender Eigenschaft:

$A\cdot A^{\prime }=E$ und $A^{\prime }\cdot A=E$

Aufgabe 3

(a) Ergänze die fehlenden Komponenten der Matrix $A^{\prime }$.

$\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)}}\cdot \underset{A^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}}=\underset{E}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}}$ und $\underset{A^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}}\cdot \underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)}}=\underset{E}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}}$

(b) Kann es eine Matrix $A^{\prime }$ mit folgender Eigenschaft geben? Begründe.

$\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right)}}\cdot \underset{A^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}}=\underset{E}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}}$

Aufgabe 4

Verdeutliche die folgenden verallgemeinernden Aussagen anhand der betrachteten Beispiele.