Erarbeitung - Einheitsmatrix und inverse Matrizen
Zur Orientierung
Leitfrage
Gibt es neutrale und inverse Elemente für die Matrixmultiplikation?
Neutrale Elemente für die Matrixmultiplikation bestimmen
Für die Matrixmultiplikation gilt das Kommutativgesetz nicht. Wir müssen daher immer eine Multiplikation von links und von rechts betrachten. Gesucht sind demnach Matrizen $E$, für die $E \cdot A = A$ und $A \cdot E = A$ für alle zu $E$ passenden Matrizen $A$ gilt.
Aufgabe 1
(a) Begründe: Es gibt keine Matix $E$, die folgende Bedingung erfüllt:
$\underbrace{\dots}_{E} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} }_{A} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} }_{A}$ und $\underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} }_{A} \cdot \underbrace{\dots}_{E} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} }_{A}$
(b) Betrachte jetzt die Multiplikation quadratischer Matrizen. Das sind Matrizen, die genauso viele Zeilen wie Spalten haben. Ergänze die fehlenden Komponenten der Matrix $E$.
$\underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & \cdots \\ \cdots & \cdots \end{pmatrix} }_{E} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} }_{A} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} }_{A}$ und $\underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} }_{A} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & \cdots \\ \cdots & \cdots \end{pmatrix} }_{E} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} }_{A}$
Aufgabe 2
Verdeutliche die folgenden verallgemeinernden Aussagen anhand des betrachteten Beispiels.
Einheitsmatrix
Eine Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Diagonalen von links oben nach rechts unten alle $1$ sind und deren andere Elemente alle $0$ sind.
Beispiel: $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Neutrale Elemente bei der Matrixmultiplikation
Ist $E$ eine Einheitsmatrix, so gilt für alle Matrizen $A$ mit derselben Dimension wie $E$:
$E \cdot A = A$ sowie $A \cdot E = A$
Inverse Elemente bei der Matrixmultiplikation bestimmen
Gesucht ist für eine Matrix $A$ eine weitere Matrix $A'$ mit folgender Eigenschaft:
$A \cdot A' = E$ und $A' \cdot A = E$
Aufgabe 3
(a) Ergänze die fehlenden Komponenten der Matrix $A'$.
$\underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} }_{A} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }_{A'} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }_{E}$ und $\underbrace{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }_{A'} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} }_{A} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }_{E}$
(b) Kann es eine Matrix $A'$ mit folgender Eigenschaft geben? Begründe.
$\underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }_{A} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }_{A'} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }_{E}$
Aufgabe 4
Verdeutliche die folgenden verallgemeinernden Aussagen anhand der betrachteten Beispiele.
Inverse Matrix
Existiert zu einer quadratischen Matrix $A$ eine Matrix $A'$ mit $A \cdot A' = E$ und $A' \cdot A = E$, dann nennt man $A$ invertierbar und nennt $A'$ die inverse Matrix zur Matrix $A$. Man schreibt die inverse Matrix zu einer Ausgangsmatrix $A$ in der Regel in der Form $A^{-1}$.
Beispiel: $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ ist die inverse Matrix zu $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
