Erarbeitung - Berechnung der Komponentenlieferungen

Zur Orientierung

Ziel ist es, die folgende Leitfrage im Kontext Schulessen-Catering zu klären:

Hier noch einmal die Daten für eine Essensbestellung:

Matrizen zur Darstellung der Daten verwenden

Die Daten im Verflechtungsgraph kann man mit Hilfe von Matrizen darstellen.

Bestellmatrix $B$	Komponentenmatrix $K$
$\begin{matrix} & \begin{matrix} \color{gray} M1 & \color{gray} M2 & \color{gray} M3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \color{gray} S1 \\ \color{gray} S2 \\ \color{gray} S3 \\ \color{gray} S4 \\ \color{gray} S5 \end{matrix} & \underbrace{ \begin{pmatrix} 120 & 180 & 80 \\ 200 & 300 & 150 \\ 160 & 180 & 100 \\ 80 & 80 & 40 \\ 220 & 200 & 160 \end{pmatrix} }_{\text{Bestellmatrix}} \end{matrix}$	$\begin{matrix} & \begin{matrix} \color{gray} V & \color{gray} F & \color{gray} B & \color{gray} N \end{matrix} \\ \begin{matrix} \color{gray} M1 \\ \color{gray} M2 \\ \color{gray} M3 \end{matrix} & \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} }_{\text{Komponentenmatrix}} \end{matrix}$

Aufgabe 1

Erläutere, wie man vom Verflechtungsgraph zu den beiden Matrizen gelangt.

Die Matrix-Vektor-Multiplikation für die Berechnungen nutzen

Geklärt werden muss, wie viele Vorspeisen, wie viele Fleisch/Fisch-Portionen usw. an die einzelnen Schulen geliefert werden müssen. Die folgende Übersicht hilft bei der Durchführung der Berechnungen.

Lieferung der Vorspeisen	Lieferung der Fleisch/Fisch-Portionen	Lieferung der Beilagen	Lieferung der Nachtische
$ \begin{pmatrix} 120 & 180 & 80 \\ 200 & 300 & 150 \\ 160 & 180 & 100 \\ 80 & 80 & 40 \\ 220 & 200 & 160 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = $	$ \begin{pmatrix} 120 & 180 & 80 \\ 200 & 300 & 150 \\ 160 & 180 & 100 \\ 80 & 80 & 40 \\ 220 & 200 & 160 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{pmatrix} = $	$ \begin{pmatrix} 120 & 180 & 80 \\ 200 & 300 & 150 \\ 160 & 180 & 100 \\ 80 & 80 & 40 \\ 220 & 200 & 160 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{pmatrix} = $	$ \begin{pmatrix} 120 & 180 & 80 \\ 200 & 300 & 150 \\ 160 & 180 & 100 \\ 80 & 80 & 40 \\ 220 & 200 & 160 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{pmatrix} = $
$ \begin{pmatrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{pmatrix} $	$ \begin{pmatrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{pmatrix} $	$ \begin{pmatrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{pmatrix} $	$ \begin{pmatrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{pmatrix} $

Aufgabe 1

(a) Erkläre zunächst das vorgegebene Matrix-Vektor-Produkt zur Lieferung der Vorspeisen. Was genau wird hier berechnet? Wo kommt der beteiligte Vektor her?

(b) Ergänze alle fehlenden Teile und Berechnungen in der Übersicht.

Ein weitere Matrix einführen

Die Komponentenlieferungen können mit einer eigenen Matrix beschrieben werden.

Bestellmatrix $B$	Komponentenmatrix $K$	Lieferungsmatrix $L$
$\begin{matrix} & \begin{matrix} \color{gray} M1 & \color{gray} M2 & \color{gray} M3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \color{gray} S1 \\ \color{gray} S2 \\ \color{gray} S3 \\ \color{gray} S4 \\ \color{gray} S5 \end{matrix} & \underbrace{ \begin{pmatrix} 120 & 180 & 80 \\ 200 & 300 & 150 \\ 160 & 180 & 100 \\ 80 & 80 & 40 \\ 220 & 200 & 160 \end{pmatrix} }_{\text{Bestellmatrix}} \end{matrix}$	$\begin{matrix} & \begin{matrix} \color{gray} V & \color{gray} H & \color{gray} B & \color{gray} N \end{matrix} \\ \begin{matrix} \color{gray} M1 \\ \color{gray} M2 \\ \color{gray} M3 \end{matrix} & \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} }_{\text{Komponentenmatrix}} \end{matrix}$	$\begin{matrix} & \begin{matrix} \color{gray} V & \color{gray} F & \color{gray} B & \color{gray} N \end{matrix} \\ \begin{matrix} \color{gray} S1 \\ \color{gray} S2 \\ \color{gray} S3 \\ \color{gray} S4 \\ \color{gray} S5 \end{matrix} & \underbrace{ \begin{pmatrix} 200 & 120 & 680 & 260 \\ 350 & 200 & 1150 & 450 \\ 260 & 160 & 780 & 280 \\ 120 & 80 & 360 & 120 \\ 380 & 220 & 1000 & 360 \end{pmatrix} }_{\text{Lieferungsmatrix}} \end{matrix}$

Aufgabe 2

(a) Erläutere, was die Lieferungsmatrix beschreibt.

(b) Kontrolliere mit der Lieferungsmatrix $L$ deine Berechnungen in Aufgabe 1. Erkläre, wie die Lieferungsmatrix zustande kommt.

Ein Matrix-Matrix-Produkt verwenden

Die Lieferungsmatrix $L$ erhält man mit einer geeigneten Produktbildung aus der Bestellmatrix $B$ und der Komponentenmatrix $K$. Mit dem folgenden Applet kannst du das erkunden.

Zum Herunterladen: komponentenrechner1.ggb

Tabletversion

Zum Herunterladen: komponentenrechner1-tablet.ggb

Aufgabe 3

Die Komponentenmatrix ist erst in Teilen im unteren Fenster eingegeben. Ergänze die fehlenden Teile und beobachte, wie das Produkt $B \cdot K$ entsteht.