Einstieg - Neutrale und inverse Elemente

Das Matrixmultiplikationsverfahren analysieren

Beim Matrixmultiplikationsverfahren spielen die Schlüsselmatrix $S$ und die Gegenschlüsselmatrix $S'$ eine wichtige Rolle. Sie müssen so zusammenpassen, dass das Entschlüsseln mit $S'$ das Verschlüsseln mit $S$ wieder rückgängig macht. Die folgende Übersicht verdeutlicht das Zusammenspiel dieser beiden Matrizen zusammen mit der Matrixmultiplikation.

$\begin{array}{cl} \underbrace{\begin{pmatrix} 72 & 97 & 108 \\ 108 & 111 & 0 \end{pmatrix}}_{M} &\\ \downarrow & \text{Verschlüsselung mit } S \\ \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}}_{S} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 72 & 97 & 108 \\ 108 & 111 & 0 \end{pmatrix}}_{M} &\\ \downarrow & \text{Entschlüsselung mit } S' \\ \underbrace{\begin{pmatrix} -2 & 1\\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}}_{S'} \cdot \left[ \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}}_{S} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 72 & 97 & 108 \\ 108 & 111 & 0 \end{pmatrix}}_{M} \right] &\\ \downarrow & \text{Umformung mit dem Assoziativgesetz} \\ \left[ \underbrace{\begin{pmatrix} -2 & 1\\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}}_{S'} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}}_{S} \right] \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 72 & 97 & 108 \\ 108 & 111 & 0 \end{pmatrix}}_{M} & \\ \downarrow & \text{S' ist inverses Element zu S} \\ \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} }_{E} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 72 & 97 & 108 \\ 108 & 111 & 0 \end{pmatrix}}_{M} & \\ \downarrow & \text{E ist neutrales Element} \\ \underbrace{\begin{pmatrix} 72 & 97 & 108 \\ 108 & 111 & 0 \end{pmatrix}}_{M} & \end{array}$

Aufgabe 1

In der Übersicht werden die Begriffe neutales Element und inverses Element benutzt. Was könnte damit gemeint sein?

Neutrale und inverse Elemente beim Rechnen mit Zahlen

Neutrale und inverse Elemente kennst du vom Rechnen mit Zahlen.

Addition	Multiplikation
$\begin{array}{ll} 7 &\\ \downarrow & +2 \\ 7 + 2 &\\ \downarrow & +(-2) \\ (7 + 2) + (-2) \\ \downarrow & AG \\ 7 + (2 + (-2)) & \\ \downarrow & x + (-x) = 0 \\ 7 + 0 \\ \downarrow & x + 0 = x \\ 7 & \end{array}$	$\begin{array}{ll} 7 &\\ \downarrow & \cdot 2 \\ 7 \cdot 2 &\\ \downarrow & \cdot \frac{1}{2} \\ (7 \cdot 2) \cdot \frac{1}{2} \\ \downarrow & AG \\ 7 \cdot (2 \cdot \frac{1}{2}) & \\ \downarrow & x \cdot \frac{1}{2} = 1 \\ 7 \cdot 1 \\ \downarrow & x \cdot 1 = x \\ 7 & \end{array}$

Ein neutrales Element bzgl. einer Rechenoperation verändert das Objekt nicht, mit dem es durch die Rechenoperation verknüpft wird. Ein inverses Element zu einem vorgegebenen Objekt ist durch folgende Eigenschaft gekennzeichnet. Wenn man das vorgegebene Objekt mit seinem inversen Element bzgl. der betrachteten Rechenoperation verknüpft, dann erhält man das neutrale Element der Rechenoperation.

Beim Rechnen mit Zahlen sind die Zahl $0$ und die Zahl $1$ die neutralen Elemente bzgl. der Addition bzw. Multiplikation. Die additiven bzw. multiplikativen Gegenzahlen sind die inversen Elemente bei den entsprechenden Rechenoperationen.

Rechnen mit Zahlen	Addition	Multiplikation
neutrales Element	$x + 0 = x$	$x \cdot 1 = x$
inverse Elemente	$x + (-x) = 0$	$x \cdot \frac{1}{x} = 1$ für $x \neq 0$

Aufgabe 2

Erläutere die in der Tabelle dargestellten Zusammenhänge anhand selbst gewählter Beispiele.

Neutrale und inverse Elemente beim Rechnen mit Matrizen

Auch beim Rechnen mit Matrizen gibt es neutrale und inverse Elemente. Die Matrixaddition wurde bereits im Kapitel Zusammenfassung - Datenverarbeitung mit Matrizen betrachtet. Neutrale Elemente für die Matrixaddition sind die Nullmatrizen $N$, deren Elemente alle $0$ sind. Inverse Elemente werden durch Gegenmatrizen dargestellt, die aus den additiven Gegenzahlen zur Ausgangsmatrix bestehen.

Rechnen mit Matrizen	Addition	Multiplikation
neutrales Element	$A + N = A$
inverse Elemente	$A + (-A) = N$

Offen ist noch, ob es auch neutrale und inverse Elemente für die Matrixmultiplikation gibt.