Exkurs - Bestimmung einer inversen Matrix
Zielsetzung
In diesem Kapitel wird ein Verfahren entwickelt, mit dem man die inverse Matrix zu einer vorgegebenen Matrix bestimmen kann – sofern die Ausgangsmatrix invertierbar ist. Wir entwickeln das Verfahren anhand eines typischen Beispiels.
Einstieg
Wir bearbeiten hier folgende Problemstellung:
Problem:
Geg.: $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 4 & 8 & 1 \end{pmatrix}$
Ges.: $X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix}$ mit $ \underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 4 & 8 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix}}_{X} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{E} $
Erarbeitung
Die Matrixgleichung $A \cdot X = E$ führt zu $3$ linearen Gleichungssystemen:
| LGS 1 | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_{11} & + & 2x_{21} & + & 2x_{31} & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_{11} & + & 4x_{21} & + & x_{31} & = & 0 \\ [3] &\quad 4x_{11} & + & 8x_{21} & + & 1x_{31} & = & 0 \\ \end{array}$ |
| LGS 2 | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_{12} & + & 2x_{22} & + & 2x_{32} & = & 0 \\ [2] &\quad 2x_{12} & + & 4x_{22} & + & x_{32} & = & 1 \\ [3] &\quad 4x_{12} & + & 8x_{22} & + & 1x_{32} & = & 0 \\ \end{array}$ |
| LGS 3 | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_{13} & + & 2x_{23} & + & 2x_{33} & = & \dots \\ [2] &\quad 2x_{13} & + & 4x_{23} & + & x_{33} & = & \dots \\ [3] &\quad 4x_{13} & + & 8x_{23} & + & 1x_{33} & = & \dots \\ \end{array}$ |
Aufgabe 1
(a) Erkläre, wie man zum LGS 1 und zum LGS 2 gelangt.
(b) Ergänze die rechte Seite von LGS 3. Warum erhält man immer die gleiche linke Seite?
(c) Begründe: Wenn man die $3$ LGSe mit dem Gauß-Verfahren löst, dann kann man das mit genau denselben Umformungsschritten durchführen.
(d) Führe das Gauß-Verfahren exemplarisch für LGS 1 durch.
Vertiefung
Die $3$ LGSe lassen sich gleichzeitig lösen. Folgende Zustände sollen dabei angestebt werden..
| Matrixdarstellung | Tabellendarstellung | |
|---|---|---|
| Ausgangszustand (linke Matrix in Rechteckform) | $\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 4 & 8 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ | $\left[\begin{array}{lll|lll} 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 8 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$ |
| Zwischenzustand (linke Matrix in Stufenform) | $\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ 0 & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$ | $\left[\begin{array}{lll|lll} \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right]$ |
| Endzustand (linke Matrix in Diagonalform) | $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$ | $\left[\begin{array}{lll|lll} 1 & 0 & 0 & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 1 & 0 & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 1 & \dots & \dots & \dots \end{array}\right]$ |
Aufgabe 2
Benutze das folgende LGS-Tool.
(a) Erzeuge mit den Transformationen zunächst einen Zwischenzustand, bei dem die linke Matrix in Stufenform umgewandelt ist.
(b) Erzeuge dann mit den Transformationen den Endzustand, bei dem die linke Matrix eine Diagonalform hat mit lauter Einsen in der Diagonale.
Aufgabe 3
Mit dem LGS-Tool erhält man folgende Matrixgleichung:
$\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{E} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix}}_{X} = \begin{pmatrix} 1 & -7/2 & 3/2 \\ -1/2 & 3/2 & -1/2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$
(a) Begründe: Es gilt $X = \begin{pmatrix} 1 & -7/2 & 3/2 \\ -1/2 & 3/2 & -1/2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$. Die inverse Matrix $A^{-1}$ zur Ausgangsmatrix $A$ ist somit die Matrix $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -7/2 & 3/2 \\ -1/2 & 3/2 & -1/2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$.
(b) Führe die Probe aus und berechne das folgende Matrixprodukt:
$ \underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 4 & 8 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -7/2 & 3/2 \\ -1/2 & 3/2 & -1/2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}}_{A^{-1}} = \dots$
Aufgabe 4
Berechne analog (ohne Verwendung des LGS-Tools) die inverse Matrix zu $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.
Aufgabe 5
Eine inverse Matrix lässt sich auch mit dem GeoGebra-CAS berechnen. Probiere es mit selbst gewählten Matrizen aus.
