Exkurs - Inverse 2x2-Matrizen

Zur Orientierung

Eine inverse Matrix bestimmen

Wir bearbeiten zunächst folgende Problemstellung:

Folgende Matrixgleichung muss dann erfüllt sein.

$\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 3\end{array}\right)}}\cdot \underset{A^{-1}}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}x& u\\ y& v\end{array}\right)}}=\underset{E}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}}$

Wenn man das Matrixprodukt bildet, ergeben sich $4$ Gleichungen.

Aufgabe 1

(a) Ergänze die fehlenden Teile in den Gleichungen $[3]$ und $[4]$.

(b) Warum ist es sinnvoll, die 4 entstehenden Gleichungen $[1]$, ..., $[4]$ in 2 Blöcke aufzuteilen? Begründe.

(c) Löse das Gleichungssystem, das aus den Gleichungen $[1]$ und $[2]$ besteht.

(d) Löse auch das Gleichungssystem, das aus den Gleichungen $[3]$ und $[4]$ besteht.

(e) Kontrolliere, ob $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}x& u\\ y& v\end{array}\right)$ mit den ermittelten Werten für $x$, ..., $v$ tatsächlich die inverse Matrix zu $A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 3\end{array}\right)$ ist.

Eine Formel für inverse Matrizen verwenden

Das Vorgehen im Beispiel oben lässt sich auf beliebige $2\times 2$-Matrizen übertragen. Man erhält dabei folgendes Ergebnis:

Der Ausdruck $a\cdot d-b\cdot c$ spielt eine entscheidende Rolle für die Invertierbarkeit einer Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$. Man führt daher eine Bezeichnung für diesen Ausdruck ein:

Aufgabe 2

(a) Zeige mit Hilfe der Determinante, dass die Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 3\end{array}\right)$ (aus dem Beispiel oben) invertierbar ist. Bestimme anschließend die zugehörige Umkehrmatrix mit der Formel aus dem Satz. Vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe 1.

(b) Zeige, dass die Formel für $A^{-1}$ im Satz tatsächlich die inverse Matrix zu $A$ liefert. Berechne hierzu das Matrixprodukt $A^{-1}\cdot A$.

${\displaystyle \frac{1}{a\cdot d-b\cdot c}\cdot \left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\dots }$

Invertierbarkeit untersuchen

Wie kann man oft direkt sehen, dass eine $2\times 2$-Matrix nicht invertierbar ist? Diese Frage soll jetzt anhand von Beispielen untersucht werden.

Aufgabe 3

(a) In der Tabelle sind etliche nicht invertierbare $2\times 2$-Matrizen aufgelistet. Erläutere zunächst die vorgegebenen Einträge in der ersten Zeile der Tabelle. Untersuche, ob es analoge Zusammenhänge auch bei den weiteren Matrizen gibt.

(b) Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.

Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren

Die Untersuchungen zur Invertierbarkeit einer $2\times 2$-Matrix führen auf das in der Linearen Algebra zentrale Fachkonzept der linearen (Un-) Abhängigkeit von Vektoren.

Mit diesen neuen Fachkonzept lässt sich der Satz über die Invertierbarkeit einer $2\times 2$-Matrix auch so formulieren: