Exkurs - Inverse 2x2-Matrizen
Zur Orientierung
Zielsetzung
Ziel ist es genauer zu untersuchen, welche $2 \times 2$-Matrizen invertierbar sind und wie ggf. die zugehörigen inversen Matrizen gebildet werden.
Beachte: Dieser Abschnitt über inverse $2 \times 2$-Matrizen wird in etwas modifizierter Form nochmal im Kapitel Umkehrung geometrischer Abbildungen aufgeführt.
Eine inverse Matrix bestimmen
Wir bearbeiten zunächst folgende Problemstellung:
Problem:
Geg.: $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
Ges.: $A^{-1} = \begin{pmatrix} x & u \\ y & v \end{pmatrix}$
Folgende Matrixgleichung muss dann erfüllt sein.
$\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x & u \\ y & v \end{pmatrix}}_{A^{-1}} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{E}$
Wenn man das Matrixprodukt bildet, ergeben sich $4$ Gleichungen.
| LGS 1 | LGS 2 |
|---|---|
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x & + & 4y & = & 1 \\ [2] &\quad x & + & 3y & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [3] &\quad \dots & + & \dots & = & \dots \\ [4] &\quad \dots & + & \dots & = & \dots \end{array}$ |
Aufgabe 1
(a) Ergänze die fehlenden Teile in den Gleichungen $[3]$ und $[4]$.
(b) Warum ist es sinnvoll, die 4 entstehenden Gleichungen $[1]$, ..., $[4]$ in 2 Blöcke aufzuteilen? Begründe.
(c) Löse das Gleichungssystem, das aus den Gleichungen $[1]$ und $[2]$ besteht.
(d) Löse auch das Gleichungssystem, das aus den Gleichungen $[3]$ und $[4]$ besteht.
(e) Kontrolliere, ob $A^{-1} = \begin{pmatrix} x & u \\ y & v \end{pmatrix}$ mit den ermittelten Werten für $x$, ..., $v$ tatsächlich die inverse Matrix zu $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ ist.
Eine Formel für inverse Matrizen verwenden
Das Vorgehen im Beispiel oben lässt sich auf beliebige $2 \times 2$-Matrizen übertragen. Man erhält dabei folgendes Ergebnis:
Inverse einer $2 \times 2$-Matrix
Eine $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ist genau dann invertierbar, wenn die Bedingung $a \cdot d - b \cdot c \neq 0$ erfüllt ist. Für die inverse Matrix $A^{-1}$ gilt dann:
$A^{-1} = \displaystyle{\frac{1}{a \cdot d - b \cdot c}} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
Der Ausdruck $a \cdot d - b \cdot c$ spielt eine entscheidende Rolle für die Invertierbarkeit einer Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Man führt daher eine Bezeichnung für diesen Ausdruck ein:
Deterimnante
Unter der Determinate einer $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ versteht man den Ausdruck $a \cdot d - b \cdot c$.
Kurz: $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a \cdot d - b \cdot c$
Aufgabe 2
(a) Zeige mit Hilfe der Determinante, dass die Matrix $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ (aus dem Beispiel oben) invertierbar ist. Bestimme anschließend die zugehörige Umkehrmatrix mit der Formel aus dem Satz. Vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe 1.
(b) Zeige, dass die Formel für $A^{-1}$ im Satz tatsächlich die inverse Matrix zu $A$ liefert. Berechne hierzu das Matrixprodukt $A^{-1} \cdot A$.
$\displaystyle{\frac{1}{a \cdot d - b \cdot c}} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \dots$
Invertierbarkeit untersuchen
Wie kann man oft direkt sehen, dass eine $2 \times 2$-Matrix nicht invertierbar ist? Diese Frage soll jetzt anhand von Beispielen untersucht werden.
Aufgabe 3
(a) In der Tabelle sind etliche nicht invertierbare $2 \times 2$-Matrizen aufgelistet. Erläutere zunächst die vorgegebenen Einträge in der ersten Zeile der Tabelle. Untersuche, ob es analoge Zusammenhänge auch bei den weiteren Matrizen gibt.
| Matrix $A$ | $\det(A)$ | Zusammenhänge zwischen den Spaltenvektoren von $A$ |
|---|---|---|
| $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ | $2 \times 2 - 4 \times 1 = 0$ | $2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ bzw. $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ |
| $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -2 & .3 \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -9 & -3 \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ |
(b) Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.
Invertierbarkeit einer $2 \times 2$-Matrix
Eine $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ist genau dann invertierbar, wenn die zugehörigen Spaltenvektoren $\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$ folgende Eigenschaft haben: ...
Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren
Die Untersuchungen zur Invertierbarkeit einer $2 \times 2$-Matrix führen auf das in der Linearen Algebra zentrale Fachkonzept der linearen (Un-) Abhängigkeit von Vektoren.
Lineare (Un-) Abhängigkeit
Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear abhängig genau dann, wenn einer der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen ist bzw. wenn es eine reelle Zahl $k$ gibt, sodass $\vec{u} = k\cdot \vec{v}$ oder $\vec{v} = k\cdot \vec{u}$ gilt.
Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear unabhängig genau dann, wenn sie nicht linear abhängig sind.
Mit diesen neuen Fachkonzept lässt sich der Satz über die Invertierbarkeit einer $2 \times 2$-Matrix auch so formulieren:
Invertierbarkeit einer $2 \times 2$-Matrix
Eine $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ist genau dann invertierbar, wenn die zugehörigen Spaltenvektoren $\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$ linear unabhängig sind.
