Station - Assoziativgesetze

Zur Orientierung

Wenn man mehrere Zahlen miteinander multipliziert, dann kann man die Reihenfolge der Berechnungen beliebig wählen. Es gilt z.B. $(2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4)$. Allgemein beschreibt man diesen Sachverhalt mit dem Assoziativgesetz: Für beliebige (reelle) Zahlen $a$, $b$ und $c$ gilt $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Aufgabe 1

(a) Gegeben ist eine $k \times l$-Matrix $A$, eine $l \times m$-Matrix $B$ und eine $m \times n$-Matrix $C$. Welche der folgenden Produktbildungen machen überhaupt Sinn? Prüfe, ob die Dimensionierungen zusammenpassen.

$\underbrace{A}_{k \times l-Matrix} \cdot\quad (\underbrace{B}_{l \times m-Matrix} \cdot \underbrace{C}_{m \times n-Matrix})$

$(\underbrace{A}_{k \times l-Matrix} \cdot \underbrace{B}_{l \times m-Matrix}) \quad\cdot \underbrace{C}_{m \times n-Matrix}$

(b) Überprüfe exemplarisch anhand der folgenden Matrizen, ob das Assoziativgesetz für die Matrizenmultiplikation gilt:

$\left[\underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} }_{A} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 & 1\\ 3 & -1 & 5 & 2 \end{pmatrix}}_{B}\right] \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}}_{C} = \dots$

$\underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} }_{A} \cdot \left[ \underbrace{ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 & 1\\ 3 & -1 & 5 & 2 \end{pmatrix}}_{B} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}}_{C} \right] = \dots$

Aufgabe 2

Kann man die beiden Multiplikationen – die skalare Multiplikation und die Matrixmultiplikation – in beliebiger Reihenfolge durchführen? Überprüfe das exemplarisch.

(a)

$\underbrace{2}_{r} \cdot \left[\underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 & 1\\ 3 & -1 & 5 & 2 \end{pmatrix}}_{B}\right] = \dots$

$\left[\underbrace{2}_{r} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}}_{A}\right] \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 & 1\\ 3 & -1 & 5 & 2 \end{pmatrix}}_{B} = \dots$

(b)

$ \left[\underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 & 1\\ 3 & -1 & 5 & 2 \end{pmatrix}}_{B}\right] \cdot \underbrace{2}_{r} = \dots$

$ \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \left[ \underbrace{ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 & 1\\ 3 & -1 & 5 & 2 \end{pmatrix}}_{B} \cdot \underbrace{2}_{r} \right] = \dots$

Aufgabe 3

Fasse die Ergebnisse dieses Abschnitts kurz zusammen.