Station - Assoziativgesetze

Zur Orientierung

Wenn man mehrere Zahlen miteinander multipliziert, dann kann man die Reihenfolge der Berechnungen beliebig wählen. Es gilt z.B. $(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)$. Allgemein beschreibt man diesen Sachverhalt mit dem Assoziativgesetz: Für beliebige (reelle) Zahlen $a$, $b$ und $c$ gilt $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Aufgabe 1

(a) Gegeben ist eine $k\times l$-Matrix $A$, eine $l\times m$-Matrix $B$ und eine $m\times n$-Matrix $C$. Welche der folgenden Produktbildungen ergeben überhaupt Sinn? Prüfe, ob die Dimensionierungen zusammenpassen.

$\underset{k\times l-Matrix}{\underbrace{A}}\cdot (\underset{l\times m-Matrix}{\underbrace{B}}\cdot \underset{m\times n-Matrix}{\underbrace{C}})$

$(\underset{k\times l-Matrix}{\underbrace{A}}\cdot \underset{l\times m-Matrix}{\underbrace{B}})\cdot \underset{m\times n-Matrix}{\underbrace{C}}$

(b) Überprüfe exemplarisch anhand der folgenden Matrizen, ob das Assoziativgesetz für die Matrizenmultiplikation gilt:

$[\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\\ 3& 3\end{array}\right)}}\cdot \underset{B}{\underbrace{\left(\begin{array}{cccc}2& 3& -2& 1\\ 3& -1& 5& 2\end{array}\right)}}]\cdot \underset{C}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -3\\ 1\end{array}\right)}}=\dots$

$\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\\ 3& 3\end{array}\right)}}\cdot [\underset{B}{\underbrace{\left(\begin{array}{cccc}2& 3& -2& 1\\ 3& -1& 5& 2\end{array}\right)}}\cdot \underset{C}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -3\\ 1\end{array}\right)}}]=\dots$

Aufgabe 2

Kann man die beiden Multiplikationen – die skalare Multiplikation und die Matrixmultiplikation – in beliebiger Reihenfolge durchführen? Überprüfe das exemplarisch.

(a)

$\underset{r}{\underbrace{2}}\cdot [\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\\ 3& 3\end{array}\right)}}\cdot \underset{B}{\underbrace{\left(\begin{array}{cccc}2& 3& -2& 1\\ 3& -1& 5& 2\end{array}\right)}}]=\dots$

$[\underset{r}{\underbrace{2}}\cdot \underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\\ 3& 3\end{array}\right)}}]\cdot \underset{B}{\underbrace{\left(\begin{array}{cccc}2& 3& -2& 1\\ 3& -1& 5& 2\end{array}\right)}}=\dots$

(b)

$[\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\\ 3& 3\end{array}\right)}}\cdot \underset{B}{\underbrace{\left(\begin{array}{cccc}2& 3& -2& 1\\ 3& -1& 5& 2\end{array}\right)}}]\cdot \underset{r}{\underbrace{2}}=\dots$

$\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\\ 3& 3\end{array}\right)}}\cdot [\underset{B}{\underbrace{\left(\begin{array}{cccc}2& 3& -2& 1\\ 3& -1& 5& 2\end{array}\right)}}\cdot \underset{r}{\underbrace{2}}]=\dots$

Aufgabe 3

Fasse die Ergebnisse dieses Abschnitts kurz zusammen.