Zusammenfassung - Inverse Matrix
Die Grundidee – inverse Elemente
Beim Rechnen mit Zahlen gibt es Gegenzahlen. So ist $-2$ die Gegenzahl zur Zahl $2$ bzgl. der Zahlenaddition: Wenn man zu einer beliebigen Zahl (wie z.B. der Zahl $7$) erst die Zahl $2$ und danach die Gegenzahl $-2$ addiert, heben sich diese beiden Additionen auf. Entsprechend ist $\frac{1}{2}$ die Gegenzahl zur Zahl $2$ bzgl. der Zahlenmultiplikation: Wenn man eine beliebigen Zahl (wie z.B. die Zahl $7$) erst mit der Zahl $2$ und danach mit der Gegenzahl $\frac{1}{2}$ multipliziert, heben sich diese beiden Multiplikationen auf. In der folgenden Übersicht sind die Zusammenhänge mit den zu Grunde liegenden Gesetzmäßigkeiten dargestellt.
| Addition | Multiplikation |
|---|---|
| $\begin{array}{ll} 7 &\\ \downarrow & +2 \\ 7 + 2 &\\ \downarrow & +(-2) \\ (7 + 2) + (-2) \\ \downarrow & AG \\ 7 + (2 + (-2)) & \\ \downarrow & x + (-x) = 0 \\ 7 + 0 \\ \downarrow & x + 0 = x \\ 7 & \end{array}$ | $\begin{array}{ll} 7 &\\ \downarrow & \cdot 2 \\ 7 \cdot 2 &\\ \downarrow & \cdot \frac{1}{2} \\ (7 \cdot 2) \cdot \frac{1}{2} \\ \downarrow & AG \\ 7 \cdot (2 \cdot \frac{1}{2}) & \\ \downarrow & x \cdot \frac{1}{2} = 1 \\ 7 \cdot 1 \\ \downarrow & x \cdot 1 = x \\ 7 & \end{array}$ |
Die Gesetzmäßigkeiten beschreibt man mit den Begriffen neutrale Elemente und inverse Elemente. Ein neutrales Element bzgl. einer Rechenoperation verändert das Objekt nicht, mit dem es durch die Rechenoperation verknüpft wird. Ein inverses Element zu einem vorgegebenen Objekt ist durch folgende Eigenschaft gekennzeichnet. Wenn man das vorgegebene Objekt mit seinem inversen Element bzgl. der betrachteten Rechenoperation verknüpft, dann erhält man das neutrale Element der Rechenoperation.
Beim Rechnen mit Zahlen sind die Zahl $0$ und die Zahl $1$ die neutralen Elemente bzgl. der Addition bzw. Multiplikation. Die additiven bzw. multiplikativen Gegenzahlen sind die inversen Elemente bei den entsprechenden Rechenoperationen.
| Rechnen mit Zahlen | Addition | Multiplikation |
|---|---|---|
| neutrales Element | $x + 0 = x$ | $x \cdot 1 = x$ |
| inverse Elemente | $x + (-x) = 0$ | $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ für $x \neq 0$ |
Auch beim Rechnen mit Matrizen gibt es neutrale und inverse Elemente. Die Matrixaddition wurde bereits im Kapitel Zusammenfassung - Datenverarbeitung mit Matrizen betrachtet. Neutrale Elemente für die Matrixaddition sind die Nullmatrizen $N$, deren Elemente alle $0$ sind. Inverse Elemente werden durch Gegenmatrizen dargestellt, die aus den additiven Gegenzahlen zur Ausgangsmatrix bestehen.
| Rechnen mit Matrizen | Addition | Multiplikation |
|---|---|---|
| neutrales Element | $A + N = A$ | |
| inverse Elemente | $A + (-A) = N$ |
Offen ist noch, ob es auch neutrale und inverse Elemente für die Matrixmultiplikation gibt. Das soll im Folgenden untersucht werden.
Neutrale Elemente bei der Matrixmultiplikation
Für die Matrixmultiplikation gilt das Kommutativgesetz nicht. Wir müssen daher immer eine Multiplikation von links und von rechts betrachten. Gesucht sind demnach Matrizen $E$, für die $E \cdot A = A$ und $A \cdot E = A$ für alle zu $E$ passenden Matrizen $A$ gilt.
Zu beachten ist zunächst, dass es aus Dimensionsgründen keine Matix $E$ geben kann, die z.B. folgende Bedingungen erfüllt:
$\underbrace{\dots}_{E} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} }_{A} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} }_{A}$ und $\underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} }_{A} \cdot \underbrace{\dots}_{E} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} }_{A}$
Hier müsste die Matrix $E$ sowohl eine $2 \times 2$-Matrix als auch eine $3 \times 3$-Matrix sein. Das geht natürlich nicht.
Bei der Suche nach neutralen Elementen muss man sich bei der Matrixmultiplikation daher auf quadratische Matrizen beschränken. Das sind Matrizen, die genauso viele Zeilen wie Spalten haben.
Für solche quadratischen Matrizen gibt es neutrale Elemente.
Beispiel
$\underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }_{E} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} }_{A} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} }_{A}$ und $\underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} }_{A} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }_{E} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} }_{A}$
Die Matrix $E$ hat hier eine besondere Struktur. Matrizen mit dieser Struktur beschreibt man mit einem neuen Begriff.
Einheitsmatrix
Eine Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Diagonalen von links oben nach rechts unten alle $1$ sind und deren andere Elemente alle $0$ sind.
Beispiel: $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Neutrale Elemente bei der Matrixmultiplikation
Ist $E$ eine Einheitsmatrix, so gilt für alle Matrizen $A$ mit derselben Dimension wie $E$:
$E \cdot A = A$ und $A \cdot E = A$
Die Einheitsmatrizen sind demnach die neutralen Elemente bei der Matrixmultiplikation.
Inverse Elemente bei der Matrixmultiplikation
Gesucht ist für eine Matrix $A$ eine weitere Matrix $A'$ mit folgender Eigenschaft:
$A \cdot A' = E$ und $A' \cdot A = E$
Diese Suche ist für manche Matrizen $A$ erfolgreich, für manche aber auch nicht.
Beispiel
$\underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} }_{A} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} }_{A'} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }_{E}$ und $\underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} }_{A'} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} }_{A} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }_{E}$
Hier gibt es für $A$ ein inverses Element.
Beispiel
$\underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }_{A} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }_{A'} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }_{E}$
Hier müsste $a = 1$, $b = 0$, $a = 0$ sowie $b = 1$ gelten. Für $A$ gibt es also kein inverses Element.
Wir inverse Elemente bei der Matrixmultiplikation führt man ebenfalls einen neuen Begriff ein.
Inverse Matrix
Existiert zu einer quadratischen Matrix $A$ eine Matrix $A'$ mit $A \cdot A' = E$ und $A' \cdot A = E$, dann nennt man $A$ invertierbar und nennt $A'$ die inverse Matrix zur Matrix $A$. Man schreibt die inverse Matrix zu einer Ausgangsmatrix $A$ in der Regel in der Form $A^{-1}$.
Beispiel: $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ ist die inverse Matrix zu $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
Man kann beweisen, dass es zu einer invertierbaren Matrix $A$ nur genau eine inverse Matrix $A^{-1}$ gibt. Die Bildung von Inversen bei der Matrixmultiplikation ist eindeutig.
Beachte, dass auch folgender Zusammenhang gilt: Wenn $A^{-1}$ die inverse Matrix zu $A$ ist, dann ist $A$ auch die inverse Matrix zu $A^{-1}$. Man sagt daher auch, dass die Matrizen $A$ und $A^{-1}$ invers zueinander sind.
Wir können jetzt die Übersicht über das Rechnen mit Matrizen vervollständigen.
| Rechnen mit Matrizen | Addition | Multiplikation |
|---|---|---|
| neutrales Element | $A + N = A$ | $A \cdot E = A$ und $E \cdot A = A$ (für quadratische $A$) |
| inverse Elemente | $A + (-A) = N$ | $A \cdot A^{-1} = E$ und $A^{-1} \cdot A = A$ (für invertierbare $A$) |
