Zusammenfassung - Das Matrix-Vektor-Produkt
Die Grundidee
In vielen Anwendungssituationen gibt es gleichartige Daten, die nach denselben Regeln verarbeitet werden. Als Beispiel betrachten wir Berechnungen der Gesamtkosten für die Schulen bei einer T-Shirt-Aktion.
Beispiel: Gesamtkosten der Schulen S1, S2, S3 für die bestellten T-Shirts.
$ \begin{matrix} & \,\,\,\, \begin{matrix} \color{gray} S & \color{gray} M & \color{gray} L & \color{gray} XL \end{matrix} \\ \begin{matrix} \color{gray} S1 \\ \color{gray} S2 \\ \color{gray} S3 \end{matrix} & \underbrace{ \begin{pmatrix} 80 & 20 & 10 & 2 \\ 80 & 10 & 5 & 1 \\ 60 & 15 & 10 & 0 \end{pmatrix} }_{\text{Bestellmatrix}} \end{matrix} \quad\cdot\quad \begin{matrix} & \\ \underbrace{ \begin{pmatrix} 9.60 \\ 9.80 \\ 10.00 \\ 10.20 \end{pmatrix} }_{\text{Preisvektor}} & \begin{matrix} \color{gray} S \\ \color{gray} M \\ \color{gray} L \\ \color{gray} XL \end{matrix} \end{matrix} =\quad \begin{matrix} & \\ \underbrace{ \begin{pmatrix} 1084.40 \\ 926.20 \\ 823.00 \end{pmatrix} }_{\text{Kostenvektor}} & \begin{matrix} \color{gray} S1 \\ \color{gray} S2 \\ \color{gray} S3 \end{matrix} \end{matrix} $
Im Applet ist das dabei benutzte Rechenverfahren dargestellt.
Zum Herunterladen: kostenrechner2.ggb
Die Bestellungen werden hier mit einer Matrix erfasst, die Preisliste wird mit einem Vektor dargestellt. Aus beiden – Bestellmatrix und Preisvektor – kann man mit geeigneten Rechenregeln den gesuchten Kostenvektor bestimmen.
Das Matrix-Vektor-Produkt
Das Applet verdeutlicht, wie das Matrix-Vektor-Produkt gebildet wird. Die Berechnung des grün hervorgehobenen Elements des Ergebnisvektors wird unten angezeigt. Den grün dargestellten Punkt im Ergebnisvektor kann man bewegen, um so Einsicht in alle Berechnungen zu gewinnen.
Zum Herunterladen: matrixvektorprodukt.ggb
Dieses Matrix-Vektor-Produkt lässt sich verallgemeinernd so beschreiben.
Definition
Ist $A$ eine $m \times n$-Matrix und ist $\vec{v}$ ein $n$-dimensionaler Vektor, dann ergibt das Matrix-Vektor-Produkt $A \cdot \vec{v}$ einen $m$-dimensionalen Vektor $\vec{w}$ nach folgender Rechenregel:
$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \quad\cdot\quad \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} a_{11} \cdot v_1 + a_{12} \cdot v_2 + \cdots + a_{1n} \cdot v_n \\ a_{21} \cdot v_1 + a_{22} \cdot v_2 + \cdots + a_{2n} \cdot v_n \\ \vdots \\ a_{m1} \cdot v_1 + a_{m2} \cdot v_2 + \cdots + a_{mn} \cdot v_n \\ \end{pmatrix} $
Beachte, dass die Spaltenanzahl der Matrix mit der Zeilenanzahl des Vektors beim Matrix-Vektor-Produkt übereinstimmen muss.
Beispiel 1
$ \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix} \quad\cdot\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot (-4) \\ 4 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot (-4) \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} -3 \\ -12 \end{pmatrix} $
Beispiel 2
$ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \quad\cdot\quad \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 \\ 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 \\ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} 23 \\ 1 \\ 8 \\ 15 \end{pmatrix} $
Matrix als Operator
Eine Matrix kann als Operator aufgefasst werden, der aus einem Vektor einen neuen Vektor erzeugt. Die folgende Übersicht verdeutlicht diese Sichtweise.
| Übergabe eines Vektors | Verarbeitung mit der Matrix | Rückgabe eines Vektors | ||
|---|---|---|---|---|
| $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$ | $\rightarrow$ | $\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$ | $\rightarrow$ | $\begin{pmatrix} -3 \\ -12 \end{pmatrix}$ |
| $\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ | $\rightarrow$ | $\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ | $\rightarrow$ | $\begin{pmatrix} 0 \\ 21 \end{pmatrix}$ |
| $\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ | $\rightarrow$ | $\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ | $\rightarrow$ | $\begin{pmatrix} 7 \\ 12 \end{pmatrix}$ |
