Übungen - Multiplikation von Matrizen

Aufgabe 1

Berechne die Matrixprodukte.

(a) $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 3 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

(b) $\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

(c) $\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$

(d) $\begin{pmatrix} 4 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

(e) $\begin{pmatrix} -2\\ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

Aufgabe 2

Gegeben sind die folgenden Matrizen:

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 3\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$,

(a) Welche der folgenden Matrixprodukte kann man bilden: $A \cdot A$, $A \cdot B$, $A \cdot C$, $A \cdot D$? Berechne ggf. das Matrixprodukt.

(b) Gib selbst 3 weitere Matrixproduke an, die man nicht bilden kann.

(b) Gib selbst 3 weitere Matrixproduke an, die man bilden kann. Berechne auch die Matrixprodukte.

Aufgabe 3

(a) Bestimme die Werte der Variablen $a$, $b$, $c$ und $d$, so dass gilt:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & -1 \\ 1 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & c \\ d & 0 \end{pmatrix}$

(b) Bestimme die Werte der Variablen $a$, $b$, $c$ und $d$, so dass gilt:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(c) Gibt es Werte der Variablen $a$, $b$, $c$ und $d$, so dass gilt:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & -1 \\ 1 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & c \\ d & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Aufgabe 4

X. hat das Rechnen mit Matrizen noch nicht ganz verstanden. X rechnet so:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}$

Erläutere, was X richtig bzw. falsch macht.

Aufgabe 5

Ein Online-Fotolabor bietet Jahreskalender in verschiedenen Formaten und Druckvarianten an. Die Tabelle zeigt die jeweilgen Preise (in Euro).

	Format A4	Format A3	Format A2
Digitaldruck Matt	12	23	40
Digitaldruck Hochglanz	18	28	45

Eine Firma möchte für ihre Büros in den Niederlassungen Berlin, Hamburg, München und Köln Jahreskalender bestellen. Die Tabelle zeigt die beabsichtigten Kalenderanzahlen.

	B	HH	M	K
A4	12	8	5	20
A3	8	8	10	0
A2	2	0	1	4

Welche Kosten würden für die verschiedenen Niederlassungen durch die Bestellung ihrer Jahreskalender entstehen, wenn sie die Matt-Variante bzw. die Hochglanz-Variante wählen? Bestimme diese Kosten mit einem geeigneten Matrixprodukt.

Aufgabe 6

In dieser Aufgabe greifen wir folgende (Operator-) Sichtweise auf: Eine Matrix macht etwas mit einem Vektor, wenn man sie mit dem Vektor multipliziert.

(a) Ergänze die Einträge in der folgenden Tabelle. Kläre dabei insbesondere, was die jeweilige Matrix mit dem multiplizierten Vektor macht.

Matrix	Matrix mal Vektor	Was macht die Matrix mit dem Vektor?
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$	$A$: vertauschen ...
$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$	$B$: ...
$A \cdot B = \begin{pmatrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$	$A \cdot B$: erst ... , dann ...
$B \cdot A = \begin{pmatrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$	$B \cdot A$: erst ... , dann ...

(b) Erläutere mit Hilfe der Ergebnisse in der Übersicht (auch inhaltlich), dass man beim Matrixprodukt die Reihenfolge der Matrizen beachten muss.