Station - Kommutativgesetze

Zur Orientierung

Wenn man Zahlen miteinander multipliziert, dann kann man die Reihenfolge der beiden Zahlen vertauschen. Es gilt z.B. $2\cdot 5=5\cdot 2$. Allgemein beschreibt man diesen Sachverhalt mit dem Kommutativgesetz: Für beliebige (reelle) Zahlen $a$ und $b$ gilt $a\cdot b=b\cdot a$.

Aufgabe 1

(a) Betrachte das folgende Matrixprodukt $A\cdot B$:

$\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\\ 1& 2\\ 3& 3\end{array}\right)}}\cdot \underset{B}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 3\\ 3& -1& 2\end{array}\right)}}$

Begründe, dass das umgekehrte Produkt $B\cdot A$ nicht definiert ist.

(b) Formuliere eine Bedingung, die erfüllt sein muss, damit sowohl $A\cdot B$ als auch $B\cdot A$ definiert ist. Erläutere in diesem Zusammenhang auch den Begriff quadratische Matrix.

Aufgabe 2

Untersuche, ob das Kommutativgesetz für die Multiplikation quadratischer Matrizen gilt. Betrachte z.B. die beiden folgenden Matrizen:

$\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\end{array}\right)}}\cdot \underset{B}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& -1\end{array}\right)}}=\dots$

$\underset{B}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& -1\end{array}\right)}}\cdot \underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& -1\end{array}\right)}}=\dots$

Aufgabe 3

Fasse die Ergebnisse dieses Abschnitts kurz zusammen.