Übungen - Rechnen mit Matrizen

Aufgabe 1

(a) Berechne die Matrixprodukte.

$\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 2& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\dots$

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 2& 2\end{array}\right)=\dots$

(b) Berechne die Matrixprodukte.

$\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 3& 1& 2\\ -2& 5& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\dots$

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 3& 1& 2\\ -2& 5& 1\end{array}\right)=\dots$

(c) Berechne die Matrixprodukte.

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -0.5\\ 0& 0.5\end{array}\right)=\dots$

$\left(\begin{array}{cc}1& -0.5\\ 0& 0.5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)=\dots$

(d) Berechne die Matrixprodukte.

$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}0.5& -0.5& 0.5\\ 1& 0& -1\\ -0.5& 0.5& 0,5\end{array}\right)=\dots$

$\left(\begin{array}{ccc}0.5& -0.5& 0.5\\ 1& 0& -1\\ -0.5& 0.5& 0,5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right)=\dots$

(e) In einem Nachschlagewerk steht: Achtung: Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Matrixmultiplikation. Steht das nicht im Widerspruch zu den Ergebnissen aus (a), ..., (d)? Erkläre die Zusammenhänge.

Aufgabe 2

Gilt die folgende Rechenregel für passende Matrizen $A$ und $B$ und beliebige reeelle Zahlen $r$ und $s$?

$(r\cdot A)\cdot (s\cdot B)=(r\cdot s)\cdot (A\cdot B)$

(a) Überprüfe das zunächst anhand eines Beispiels.

(b) Begründe mit den Regeln in der Übersicht in der Zusammenfassung.