Übungen - Rechnen mit Matrizen
Aufgabe 1
(a) Berechne die Matrixprodukte.
$\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \dots$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \dots$
(b) Berechne die Matrixprodukte.
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \dots$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 5 & 1 \end{pmatrix} = \dots$
(c) Berechne die Matrixprodukte.
$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -0.5 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} = \dots$
$\begin{pmatrix} 1 & -0.5 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \dots$
(d) Berechne die Matrixprodukte.
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 & 0.5\\ 1 & 0 & -1 \\ -0.5 & 0.5 & 0,5 \end{pmatrix} = \dots$
$\begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 & 0.5\\ 1 & 0 & -1 \\ -0.5 & 0.5 & 0,5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \dots$
(e)
In einem Nachschlagewerk steht: Achtung: Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Matrixmultiplikation.
Steht das nicht im Widerspruch zu den Ergebnissen aus (a), ..., (d)? Erkläre die Zusammenhänge.
Aufgabe 2
Gilt die folgende Rechenregel für passende Matrizen $A$ und $B$ und beliebige reeelle Zahlen $r$ und $s$?
$(r \cdot A) \cdot (s \cdot B) = (r \cdot s) \cdot (A \cdot B)$
(a) Überprüfe das zunächst anhand eines Beispiels.
(b) Begründe mit den Regeln in der Übersicht in der Zusammenfassung.