Übungen - Rechnen mit Matrizen

Aufgabe 1

(a) Berechne die Matrixprodukte.

$\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \dots$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \dots$

(b) Berechne die Matrixprodukte.

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \dots$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 5 & 1 \end{pmatrix} = \dots$

(c) Berechne die Matrixprodukte.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -0.5 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} = \dots$

$\begin{pmatrix} 1 & -0.5 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \dots$

(d) Berechne die Matrixprodukte.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 & 0.5\\ 1 & 0 & -1 \\ -0.5 & 0.5 & 0,5 \end{pmatrix} = \dots$

$\begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 & 0.5\\ 1 & 0 & -1 \\ -0.5 & 0.5 & 0,5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \dots$

(e) In einem Nachschlagewerk steht: Achtung: Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Matrixmultiplikation. Steht das nicht im Widerspruch zu den Ergebnissen aus (a), ..., (d)? Erkläre die Zusammenhänge.

Aufgabe 2

Gilt die folgende Rechenregel für passende Matrizen $A$ und $B$ und beliebige reeelle Zahlen $r$ und $s$?

$(r \cdot A) \cdot (s \cdot B) = (r \cdot s) \cdot (A \cdot B)$

(a) Überprüfe das zunächst anhand eines Beispiels.

(b) Begründe mit den Regeln in der Übersicht in der Zusammenfassung.