Übungen - Rechnen mit Matrizen

Aufgabe 1

(a) Berechne die Matrixprodukte.

$\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \dots$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \dots$

(b) Berechne die Matrixprodukte.

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \dots$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 5 & 1 \end{pmatrix} = \dots$

(c) Berechne die Matrixprodukte.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -0.5 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} = \dots$

$\begin{pmatrix} 1 & -0.5 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \dots$

(d) Berechne die Matrixprodukte.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 & 0.5\\ 1 & 0 & -1 \\ -0.5 & 0.5 & 0,5 \end{pmatrix} = \dots$

$\begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 & 0.5\\ 1 & 0 & -1 \\ -0.5 & 0.5 & 0,5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \dots$

(e) In einem Nachschlagewerk steht: Achtung: Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Matrixmultiplikation. Steht das nicht im Widerspruch zu den Ergebnissen aus (a), ..., (d)? Erkläre die Zusammenhänge.

Aufgabe 2

Gilt die folgende Rechenregel für passende Matrizen $A$ und $B$ und beliebige reeelle Zahlen $r$ und $s$?

$(r \cdot A) \cdot (s \cdot B) = (r \cdot s) \cdot (A \cdot B)$

(a) Überprüfe das zunächst anhand eines Beispiels.

(b) Begründe mit den Regeln in der Übersicht in der Zusammenfassung.

Aufgabe 3

Überprüfe, ob es zu den folgenden Matrizen inverse Matrizen gibt.

(a)

$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(b)

$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Aufgabe 4

Zeige mit geeigneten Rechengesetzen, dass für passende invertierbare Matrizen $A$ und $B$ folgender Zusammenhang gilt:

$A^{-1} \cdot (A + B) \cdot B^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$

Aufgabe 5

Kann es zu einer Matrix $A$ zwei verschiedene inverse Matrizen $X$ und $Y$ geben? Erläutere Schritt für Schritt die folgende Argumentation.

Wenn $X$ und $Y$ inverse Matrizen zu $A$ sind, dann gilt: $A \cdot X = E$ und $Y \cdot A = E$

Wenn man die erste Gleichung mit $Y$ multipliziert, erhält man: $Y \cdot (A \cdot X) = Y \cdot E$.

Das kann man so vereinfachen: $Y \cdot (A \cdot X) = Y$.

Mit dem Assoziativgesetz erhält man: $(Y \cdot A) \cdot X = Y$.

Da $Y \cdot A = E$, erhält man: $E \cdot X = Y$.

Hieraus erhält man $X = Y$.