Erarbeitung - Matrix-Vektor-Produkt
Zur Orientierung
Zielsetzung
In diesem Abschnitt beschreiben wir das zur Kostenberechnung bereits verwendete Matrix-Vektor-Produkt ganz allgemein.
Zum Herunterladen: kostenrechner2.ggb
Das Matrix-Vektor-Produkt erkunden
Zur Erkundung des Matrix-Vektor-Produkts kannst du das folgende Applet verwenden.
Anleitung für das Applet
- Im oberen Fenster kann man die Matrix $A$ und den zu multiplizierenden Vektor $\vec{v}$ mit den Schieberglern dimensionieren. Beachte: Je nach gewählten Einstellungen erscheint der Ergebnisvektor $\vec{w}$. Warum das so ist, sollst du in den Aufgaben selbst herausfinden.
- Im unteren Fenster wird für die gewählten Einstellungen das Matrix-Vektor-Produkt $A \cdot \vec{v}$ berechnet. Wie das genau geht sollst du in den Aufgaben selbst herausfinden.
- Im (grün dargestellten) Ergebnisvektor befindet sich ein grüner Punkt. Mit diesem Punkt kann man ein Element des Ergebnisvektors auswählen. Im unteren Bereich wird dann angezeigt, wie die Berechnung des ausgewählten Elements zustande kommt.
Zum Herunterladen: matrixvektorprodukt.ggb
Aufgabe 1
Benutze das Applet, um die Funktionsweise des Matrix-Vektor-Produkts herauszufinden. Kläre dabei folgende Fragen:
- Wie erhält man ein Element des Ergebnisvektors $\vec{w}$? Welche Elemente der Matrix $A$ und welche Elemente des zu multiplizierenden Vektors $\vec{v}$ werden hierfür benötigt?
- Wie müssen $A$ und $\vec{v}$ dimensioniert werden, damit ein Ergebnisvektor $\vec{w}$ entsteht? Woraus ergibt sich die Dimension des Ergebnisvektors $\vec{w}$?
Das Matrix-Vektor-Produkt festlegen
Mit dem Applet hast du sicher herausgefunden, wie das Matrix-Vektor-Produkt gebildet wird. Hier wird dieses Produkt jetzt – wie in der Mathematik üblich – ganz allgemein festgelegt.
Aufgabe 2
Verdeutliche das Vorgehen bei der Bildung des Matrix-Vektor-Produkts zunächst anhand der beiden Beispiele. Ergänze hierzu die mit $\color{red}{\cdots}$ markierten Stellen.
Beispiel 1
$ \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix} \quad\cdot\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 + \color{red}{\cdots} \\ \color{red}{\cdots} \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} -3 \\ \color{red}{\cdots} \end{pmatrix} $
Beispiel 2
$ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \quad\cdot\quad \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} 4 \cdot 2 + \color{red}{\cdots} \\ \color{red}{\cdots} \\ \color{red}{\cdots} \\ \color{red}{\cdots} \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} \color{red}{\cdots} \\ \color{red}{\cdots} \\ \color{red}{\cdots} \\ \color{red}{\cdots} \end{pmatrix} $
Aufgabe 3
Ergänze in der folgenden allgemein gefassten Definition die mit $\color{red}{\cdots}$ markierten Stellen.
Definition:
Ist $A$ eine $m \times n$-Matrix und ist $\vec{v}$ ein $n$-dimensionaler Vektor, dann ergibt das Matrix-Vektor-Produkt $A \cdot \vec{v}$ einen $m$-dimensionalen Vektor $\vec{w}$ nach folgender Rechenregel:
$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \quad\cdot\quad \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} a_{11} \cdot v_1 + \color{red}{\cdots} \\ \color{red}{\cdots} \\ \vdots \\ \color{red}{\cdots} \end{pmatrix} $
Das Matrix-Vektor-Produkt als Linearkombination von Vektoren deuten
Aufgabe 3
(a) Führe im Beispiel 3 die fehlenden Berechnungen selbst durch. Vergleiche mit dem Ergebnis in Beispiel 1.
(b) Erläutere anhand von Beispiel 3 den folgenden Zusammenhang: Das Matrix-Vektor-Produkt erhält man, indem man mit Hilfe der Elemente des Vektors eine Linearkombination aus den Spaltenvektoren der Matrix bildet.
Beispiel 3
$ \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix} \quad\cdot\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot 1 + \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot 2 + \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot (-4) \quad = \quad \begin{pmatrix} -3 \\ \color{red}{\cdots} \\ \color{red}{\cdots} \end{pmatrix} $
