Zusammenfassung - Rechnen mit Matrizen
Zur Orientierung
Matrizen sind rechteckige Zahlenschemata, mit denen man ähnlich wie mit Zahlen rechnen kann. Es sind verschiedene Rechenoperationen definiert: eine Addition, eine Multiplikation sowie eine skalare Multiplikation von Matrizen. Für diese Rechenoperationen gelten – mit wenigen Ausnahmen – dieselben Rechenregeln, die man auch beim Rechnen mit Zahlen verwendet. In diesem Abschnitt stellen wir die Rechenoperationen und die Rechenregeln zusammen.
Rechenoperationen für Matrizen
In der folgenden Tabelle sind die Rechenoperationen für Matrizen aufgeführt.
| Rechenoperation | Beispiel | Erläuterung |
|---|---|---|
| Addition | $\begin{pmatrix} 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ -2 & 5 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ -2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ | Bei der Addition von Matrizen werden entsprechende Komponenten addiert. Die Dimensionen der beiden Matrizen müssen hierzu übereinstimmen. |
| skalare Multiplikation |
$3 \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 \\
-2 & -1 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 & 6 & -9 \\
-6 & -3 & 0
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ -2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot (-1) = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ |
Bei der skalaren Multiplikation werden alle Komponenten der Matrix mit einer reellen Zahl multipliziert. Die Matrix wird auf diese Weise vervielfacht. |
| Multiplikation | $ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \quad\cdot\quad \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3\\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} 23 & 7 & 22\\ 1 & 7 & 4\\ 8 & 1 & 7\\ 15 & 6 & 15 \end{pmatrix} $ | Bei der Multiplikation von Matrizen ist etwas komplizierter – sie ist nicht analog zur Addition definiert. Sie ist vielmehr so konzipiert, dass sie eine Verknüpfung von Prozessen (die durch die beteiligten Matrizen beschrieben werden) erfasst. Die Multiplikation ist nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. |
Beachte, dass auch eine Subtraktion von Matrizen möglich ist. In der Tabelle ist sie nicht aufgeführt, da man eine Subtraktion mit Hilfe einer Addition und einer skalaren Multiplikation mit dem Faktor $-1$ durchführen kann.
Rechenregeln für das Matrixprodukt
In der folgenden Tabelle sind die Rechengesetze für Matrizen kurz aufgelistet. Sie verdeutlichen, dass man mit Matrizen flexibel und fast wie mit Zahlen gewohnt rechnen kann. Eine Ausnahme bildet das Kommutativgesetz für die Matrixmultiplikation. Ein Vertauschen der beiden Matrizen bei der Multiplikation führt (falls überhaupt möglich) i.A. nicht zum selben Ergebnis.
Satz: Rechenregeln für das Matrixprodukt
Sofern die Matrixprodukte existieren, gelten folgende Gesetze (nicht):
| Bezeichnung | Rechengesetz | Verdeutlichung am Beispiel |
|---|---|---|
| Kommutativgesetz |
Es gibt Matrizen $A$ und $B$ mit $A \cdot B \neq B \cdot A$ |
$
\begin{pmatrix}
4 & 5 \\
2 & -1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2 & 3\\
3 & -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
23 & 7\\
1 & 7
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 3 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 7\\ 10 & 16 \end{pmatrix}$ |
| Assoziativgesetz |
Für alle (passenden) Matrizen $A$, $B$, $C$ gilt: $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ |
$\left[
\begin{pmatrix}
4 & 5 \\
2 & -1 \\
3 & 3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2 & 3 & -2 & 1\\
3 & -1 & 5 & 2
\end{pmatrix}
\right]
\cdot
\begin{pmatrix}
4 \\
2 \\
-3 \\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
69 \\
45 \\
54
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 & 1\\ 3 & -1 & 5 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 69 \\ 45 \\ 54 \end{pmatrix}$ |
| Distributivgesetz | $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ |
$\begin{pmatrix}
4 & 5 \\
2 & -1 \\
3 & 3
\end{pmatrix}
\cdot
\left[
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
3 & -1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
2 & 0
\end{pmatrix}
\right]
=
\begin{pmatrix}
49 & 11 \\
7 & 9 \\
33 & 9
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 49 & 11 \\ 7 & 9 \\ 33 & 9 \end{pmatrix}$ |
| Distributivgesetz | $(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C$ |
$\left[
\begin{pmatrix}
4 & 5 \\
2 & -1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
3 & -1
\end{pmatrix}
\right]
\cdot
\begin{pmatrix}
4 \\
2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
40 \\
16
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 \\ 16 \end{pmatrix}$ |
