Erarbeitung - Rechnen mit Matrizen
Zur Orientierung
Zielsetzung
Im Kontext Eisdiele
hast du bereits mit Matrizen gerechnet.
Wir beschreiben hier die dabei verwendeten Rechenverfahren ganz allgemein.
Mit Matrizen rechnen
Das Rechnen mit Matrizen erfolgt ganz analog zum Rechnen mit Vektoren.
Definition:
Matrizen werden komponentenweise addiert und subtrahiert bzw. mit einer reellen Zahl multipliziert (hierfür sagt man auch skalar multipliziert). In der Übersicht wird das anhand typischer Beispiele verdeutlicht.
| Rechenoperation | Beispiel |
|---|---|
| Addition | $\begin{pmatrix} 2 & 4 & -3 \\ 5 & -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$ |
| Subtraktion | $\begin{pmatrix} 2 & 4 & -3 \\ 5 & -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$ |
| skalare Multiplikation |
$3 \cdot \begin{pmatrix}
2 & 4 & -3 \\
5 & -1 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dots & \dots & \dots \\
\dots & \dots & \dots
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 & 4 & -3 \\ 5 & -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot (-1) = \begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$ |
Aufgabe 1
Ergänze die fehlenden Einträge in der Tabelle bzw. im Wissensspeicher.
Aufgabe 2
Die Subtraktion von Matrizen kann man auch mit Hilfe der Addition und einer skalaren Multiplikation durchführen. Ergänze hierzu im Beispiel den skalaren Faktor.
$\begin{pmatrix} 2 & 4 & -3 \\ 5 & -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -3 \\ 5 & -1 & 0 \end{pmatrix} + (\ldots) \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -2 & 4 & -1 \end{pmatrix} $
Matrizen linear kombinieren
Mit den eingeführten Rechenoperationen für Matrizen kann man jetzt komplexe Rechenausdrücke bilden, z.B.:
$3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & -3 \\ 5 & -1 & 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & -3 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 4 \end{pmatrix}$
Man sagt, dass man die Matrizen hier linear kombiniert.
Aufgabe 3
Berechne den Wert des oben gegebenen Rechenausdrucks.
