Erarbeitung - Rechnen mit Vektoren
Zur Orientierung
Zielsetzung
Im Kontext Blumenzwiebelaktion
bzw. Farbdarstellung
hast du bereits mit Vektoren gerechnet.
Wir beschreiben hier die dabei verwendeten Rechenverfahren ganz allgemein.
Mit Vektoren rechnen
Die Verfahren zum Rechnen mit Vektoren sind ganz naheliegend.
Definition:
Vektoren werden komponentenweise addiert bzw. mit einer reellen Zahl multipliziert (hierfür sagt man auch skalar multipliziert).
| Rechenoperation | Beispiel | Verallgemeinerung |
|---|---|---|
| Addition | $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -1 \\ -0.5 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right)$ | $\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 + b_1 \\ \dots \\ \vdots \\ \dots \end{array}\right)$ |
| Subtraktion | $\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$ | $\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \dots \\ \dots \\ \vdots \\ \dots \end{array}\right)$ |
| skalare Multiplikation |
$0.5 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -1.5 \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right) \cdot 0.5 = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -1.5 \end{array}\right)$ |
$r \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} \dots \\ \dots \\ \vdots \\ \dots \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) \cdot r = \left(\begin{array}{c} \dots \\ \dots \\ \vdots \\ \dots \end{array}\right)$ |
Aufgabe 1
Ergänze die fehlenden Einträge in der Verallgemeinerungsspalte in der Tabelle bzw. im Wissensspeicher.
Aufgabe 2
Die Subtraktion von Vektoren kann man auch mit Hilfe der Addition und einer skalaren Multiplikation durchführen. Ergänze hierzu im Beispiel den skalaren Faktor.
$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} -1 \\ -0.5 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) + (\dots) \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -0.5 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right)$
Vektoren linear kombinieren
Mit den eingeführten Rechenoperationen für Vektoren kann man jetzt komplexe Rechenausdrücke bilden, z.B.:
$3 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) + 4 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -0.5 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) + (-2) \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right)$
Man sagt, dass man die Vektoren hier linear kombiniert.
Aufgabe 3
Berechne den Wert des oben gegebenen Rechenausdrucks.
