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Erarbeitung - Multiplikation von Matrizen

Zur Orientierung

Zielsetzung

Im Kontext Schulessen-Catering hast du bereits das Produkt von Matrizen kennen gelernt. In diesem Abschnitt wird dieses Matrixprodukt ganz allgemein eingeführt.

Das Matrixprodukt erkunden

Zur Erkundung des Matrixprodukts kannst du das folgende Applet verwenden.

Anleitung für das Applet

Die zu multiplizierenden Matrizen $A$ und $B$ kann man mit Hilfe von Schieberglern dimensionieren. Beachte: Die Ergebnismatrix $C$ erscheint nur bei passend gewählten Einstellungen. Warum das so ist, sollst du in den Aufgaben selbst herausfinden.
Die Elemente der Matrizen $A$ und $B$ kann man selbst in den entsprechenden Feldern eingeben.
In der (grün dargestellten) Ergebnismatrix befindet sich ein grüner Punkt. Mit diesem Punkt kann man ein Element der Ergebnismatrix auswählen. Im unteren Bereich wird dann angezeigt, wie die Berechnung des ausgewählten Elements zustande kommt.

Zum Herunterladen: matrixmatrixprodukt.ggb

Aufgabe 1

Benutze das Applet, um die Funktionsweise des Matrixprodukts herauszufinden. Kläre dabei folgende Fragen:

Wie erhält man ein Element der Ergebnismatrix $C$ ? Welche Elemente der Matrix $A$ und der Matrix $B$ werden hierfür benötigt?
Wie müssen $A$ und $B$ dimensioniert werden, damit eine Ergebnismatrix $C$ entsteht? Wie erhält man die Dimension der Ergebnismatrix $C$ aus den Dimensionen von $A$ und $B$ ?

Das Matrixprodukt festlegen

Mit dem Applet hast du sicher herausgefunden, wie das Matrixprodukt gebildet wird. Hier wird dieses Produkt jetzt – wie in der Mathematik üblich – ganz allgemein festgelegt.

Aufgabe 2

Verdeutliche das Vorgehen bei der Bildung des Matrixprodukts zunächst anhand der beiden Beispiele. Ergänze hierzu die mit $\dots$ markierten Stellen. Kontrolliere die Ergebnisse mit dem Applet oben.

Beispiel 1

$(\begin{matrix} 3 & - 1 & 1 \\ 4 & 2 & 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ - 4 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 · 1 + (-1) · 2 + 1 · (-4) & \dots \\ \dots & \dots \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 & 3 \\ \dots & \dots \end{matrix})$

Beispiel 2

$(\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 4 & 2 \\ - 4 & 0 \\ 3 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \dots & 3 · 2 + (-1) · 4 & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{matrix}) = (\begin{matrix} \dots & 2 & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{matrix})$

Aufgabe 3

Ergänze in der folgenden allgemein gefassten Definition die mit $\dots$ markierten Stellen.

Definition:

Ist $A$ eine $m \times n$ -Matrix und $B$ eine $n \times k$ -Matrix, dann ergibt das Matrixprodukt $A \cdot B$ eine $m \times k$ -Matrix $C$ nach folgender Rechenregel:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 k} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 k} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{m 1} & c_{m 2} & \dots & c_{m k} \end{matrix})$

Das Element $c_{i j}$ der Matrix $C$ erhält man, indem man die Elemente der $\dots$ von $A$ mit den Elementen der $\dots$ von $B$ miteinander multipliziert und alle Produkte aufaddiert:

$c_{i j} = a_{i 1} \cdot b_{1 j} + \dots + a_{i n} \cdot b_{n j}$

Aufgabe 4

Verdeutliche anhand eines Beispiels, dass das Matrix-Vektor-Produkt ein Spezialfall des Matrix-Produkts darstellt.

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