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Zusammenfassung - Datenverarbeitung mit Matrizen

Die Grundidee

In vielen Anwendungssituationen gibt es gleichartige Daten, die nach denselben Regeln verarbeitet werden. Als Beispiel betrachten wir die abgeschätzten täglichen Verkaufszahlen an Eiskugeln in einer Eisdiele mit drei verschiedenen Filialen.

MO-DO	E(rdbeere)	H(imbeere)	M(ango)	Z(itrone)
Filiale F1	400	150	120	160
Filiale F2	250	80	100	100
Filiale F3	300	150	100	200

Diese Daten lassen sich mit einem Zahlenschema erfassen.

Beispiel: Tägliche Verkaufszahlen an Eiskugeln an den Tagen MO-DO

$\begin{matrix} \begin{matrix} E & H & M & Z \end{matrix} \\ \begin{matrix} F 1 \\ F 2 \\ F 3 \end{matrix} & \underset{Verkaufszahlenmatrix}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 400 & 150 & 120 & 160 \\ 250 & 80 & 100 & 100 \\ 300 & 150 & 100 & 200 \end{matrix})}} \end{matrix}$

Mit diesem Zahlenschema kann man rechnen. So kann man z.B. die Zahlen alle mit dem Faktor $3$ multiplizieren.

Solche Zahlenschemata kommen immer wieder in Anwendungssituationen vor. Wir beschreiben sie daher mit einem neuen Begriff.

Der Matrixbegriff

Definition

Eine Matrix (Plural: Matrizen) ist ein rechteckiges Tabellenschema bestehend aus reellen Zahlen. Wenn $m$ die Anzahl der Zeilen und $n$ die Anzahl der Spalten beschreibt, dann spricht man auch von einer $m \times n$ -Matrix. Die Zahlen, aus denen eine Matrix besteht, nennt man auch Elemente oder Komponenten der Matrix.

Übliche Darstellung:

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})$

Matrizen werden mit Großbuchstaben gekennzeichnet, die Matrixelemente mit Kleinbuchstaben und Indices zur Beschreibung der Positionen innerhalb des Rechteckschemas.

Beispiel: Verkaufszahlenmatrix im Kontext Eiskugeln

$V = (\begin{matrix} 400 & 150 & 120 & 160 \\ 250 & 80 & 100 & 100 \\ 300 & 150 & 100 & 200 \end{matrix})$

Diese Matrix besteht aus $3$ Zeilen und $4$ Spalten. Es handelt sich also um eine $3 \times 4$ -Matrix.

Eine Matrix kann man als Zusammenstellung von Vektoren auffassen:

Die Matrix $V$ besteht aus den folgenden Spaltenvektoren: $(\begin{matrix} 400 \\ 250 \\ 300 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 150 \\ 80 \\ 150 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 120 \\ 100 \\ 100 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 160 \\ 100 \\ 200 \end{matrix})$ .

Die Matrix $V$ besteht aus den folgenden Zeilenvektoren: $(\begin{matrix} 400 150 120 160 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 250 80 100 100 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 300 150 100 200 \end{matrix})$ .

Beachte, dass das Matrixkonzept eine Verallgemeinerung des Vektorkonzepts darstellt. Wir beschreiben sie daher mit einem neuen Begriff.

Der Vektor $(\begin{matrix} 400 \\ 250 \\ 300 \end{matrix})$ kann als $3 \times 1$ -Matrix gedeutet werden.
Der Vektor $(\begin{matrix} 400 & 150 & 120 & 160 \end{matrix})$ kann als $1 \times 4$ -Matrix gedeutet werden.

Rechnen mit Matrizen

Das Rechnen mit Matrizen erfolgt ganz analog zum Rechnen mit Vektoren.

Definition:

Matrizen werden komponentenweise addiert und subtrahiert bzw. mit einer reellen Zahl multipliziert (hierfür sagt man auch skalar multipliziert). In der Übersicht wird das anhand typischer Beispiele verdeutlicht.

Rechenoperation	Beispiel
Addition	$(\begin{matrix} 2 & 4 & - 3 \\ 5 & - 1 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 & 0 & 4 \\ - 2 & 4 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & 4 & 1 \\ 3 & 3 & - 1 \end{matrix})$
Subtraktion	$(\begin{matrix} 2 & 4 & - 3 \\ 5 & - 1 & 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 & 0 & 4 \\ - 2 & 4 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 4 & - 7 \\ 7 & - 5 & 1 \end{matrix})$
skalare Multiplikation	$3 \cdot (\begin{matrix} 2 & 4 & - 3 \\ 5 & - 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 & 12 & - 9 \\ 15 & - 3 & 0 \end{matrix})$ $(\begin{matrix} 2 & 4 & - 3 \\ 5 & - 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (- 1) = (\begin{matrix} - 2 & - 4 & 3 \\ - 5 & 1 & 0 \end{matrix})$

Beachte: Die Subtraktion von Vektoren kann man auch mit Hilfe der Addition und einer skalaren Multiplikation durchführen.

$(\begin{matrix} 2 & 4 & - 3 \\ 5 & - 1 & 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 & 0 & 4 \\ - 2 & 4 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 4 & - 3 \\ 5 & - 1 & 0 \end{matrix}) + (- 1) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 & 4 \\ - 2 & 4 & - 1 \end{matrix})$

Mit den eingeführten Rechenoperationen für Matrizen kann man jetzt komplexe Rechenausdrücke bilden, z.B.:

$3 \cdot (\begin{matrix} 2 & 4 & - 3 \\ 5 & - 1 & 0 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & - 3 \end{matrix}) + (- 1) \cdot (\begin{matrix} - 3 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 4 \end{matrix})$

Man sagt, dass man die Matrizen hier linear kombiniert.

Rechenregeln für das Rechnen mit Matrizen

Für das Rechnen mit Matrizen gelten die gängigen Rechengesetze.

Bezeichnung	Rechengesetz	Verdeutlichung am Beispiel
Kommutativgesetz Matrix + Matrix	$M_{1} + M_{2} = M_{2} + M_{1}$	$(\begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 3 \end{matrix})$ $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 3 \end{matrix})$
Assoziativgesetz (Matrix + Matrix) + Matrix	$(M_{1} + M_{2}) + M_{3} = M_{1} + (M_{2} + M_{3})$	$[(\begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 2 & 4 \end{matrix})] + (\begin{matrix} - 5 & 2 \\ 0 & - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 & 6 \\ 3 & 0 \end{matrix})$ $(\begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & - 1 \end{matrix}) + [(\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 5 & 2 \\ 0 & - 3 \end{matrix})] = (\begin{matrix} - 2 & 6 \\ 3 & 0 \end{matrix})$
Assoziativgesetz (Zahl $\cdot$ Zahl) $\cdot$ Matrix	$(r \cdot s) \cdot M = r \cdot (s \cdot M)$	$(2 \cdot 3) \cdot (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 12 & 24 \\ 30 & - 6 \end{matrix})$ $2 \cdot [3 \cdot (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & - 1 \end{matrix})] = (\begin{matrix} 12 & 24 \\ 30 & - 6 \end{matrix})$
Distributivgesetz Zahl $\cdot$ (Matrix + Matrix)	$r \cdot (M_{1} + M_{2}) = r \cdot M_{1} + r \cdot M_{2}$	$2 \cdot [(\begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 2 & 4 \end{matrix})] = (\begin{matrix} 6 & 8 \\ 6 & 6 \end{matrix})$ $2 \cdot (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & - 1 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 & 8 \\ 6 & 6 \end{matrix})$
Distributivgesetz (Zahl + Zahl) $\cdot$ Matrix	$(r + s) \cdot M = r \cdot M + s \cdot M$	$(2 + 3) \cdot (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 & 20 \\ 25 & - 5 \end{matrix})$ $2 \cdot (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & - 1 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 & 20 \\ 25 & - 5 \end{matrix})$

Besondere Matrizen

Genau wie beim Rechnen mit Zahlen gibt es auch beim Rechnen mit Matrizen besondere Matrizen.

Eine Nullmatrix ist eine Matrix wie z.B. $N = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ , deren Elemente alle $0$ sind.

Die Gegenmatrix zu einer Matrix $M = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & - 1 \end{matrix})$ ist die Matrix $- M = (\begin{matrix} - 2 & - 4 \\ - 5 & 1 \end{matrix})$ , deren Elemente alle die Gegenzahlen zu den Elementen der Ausgangsmatrix sind.

Für diese Matrizen gelten folgen Rechengesetze:

Bezeichnung	Rechengesetz	Verdeutlichung am Beispiel
Addition der Nullmatrix	$M + N = M$	$(\begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & - 1 \end{matrix})$
Addition der Gegenmatrix	$M + (- M) = N$	$(\begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 2 & - 4 \\ - 5 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$