Erkundung – Drohnenshow
Ein Netz aus Drohnen
Eine Drohnenshow soll mithilfe vieler Drohnen eine Art Gitternetz am Himmel erzeugen. Die Drohnen sollen dabei wie im Applet zu sehen gleichmäßig angeordnet sein.
Zum Herunterladen: drohnen1.ggb
Ziel ist es, die Positionen der Drohnen genau festzulegen.
Aufgabe 1 (Einstieg)
Die Koordinaten von zwei Drohnen sind bekannt:
- $D_{(0,0)}(0|1|4)$
- $D_{(1,0)}(-0.5|2|4)$
(a) Mit diesen beiden Drohnen-Koordinaten kannst du schon für einige Drohnen die Koordinaten bestimmen. Überlege selbst, für welche Drohnen im Applet oben du nun die Position berechnen kannst, und führe die Rechnung beispielhaft durch.
(b) Erkläre deinem Nachbarn mit Fachbegriffen, wie du hier bei der Berechnung vorgehst.
(c) Erkläre, warum du auf diese Weise nicht für alle Drohnen die Position bestimmen kannst. Mache einen Vorschlag, welche zusätzlichen Informationen du benötigst, um auch diese zu berechnen.
Aufgabe 2 (Erarbeitung)
Wir geben nun auch die Koordinaten einer dritten Drohne vor:
- $D_{(0,0)}(0|1|4)$
- $D_{(1,0)}(-0.5|2|4)$
- $D_{(0,1)}(-0.5|1|4.5)$
(a) Bestimme die Koordinaten der Drohnenpunkte $D_{(0,2)}$, $D_{(0,3)}$ und $D_{(0,-1)}$. Erkläre, welche Informationen du nun hierfür brauchst.
(b) Bestimme die Koordinaten der Drohnenpunkte $D_{(1,1)}$, $D_{(3,2)}$, $D_{(-2,-1)}$. Erkläre, wie du dabei vorgehst.
Aufgabe 3 (Sicherung)
(a) Überprüfe die berechneten Drohnen-Positionen mithilfe des Applets unterhalb der Aufgabe. Gib hierzu die Koordinaten der Punkte im Algebrafenster unten ein.
(b) Im Algebrafenster sind auch drei Vektoren aufgeführt (du musst den Reiter „Vektor“ erst ausklappen). Klicke jeweils auf den Kreis links vom Vektor, um ihn oben in der 3D-Grafik anzuzeigen. Erkläre dann geometrisch, wie man die drei Vektoren nutzt, um die einzelnen Drohnen-Positionen zu bestimmen.
(c) 🚀 Wenn du im Algebrafenster auf „q = ...“ etc. klickst, siehst du, wie die drei Vektoren in GeoGebra definiert worden sind. Schau dir das für alle drei Vektoren an und mache dir klar, was diese Befehle bedeuten.
Zum Herunterladen: drohnen2.ggb
Aufgabe 4 (Vertiefung)
Wir arbeiten weiter mit den Vektoren aus Aufgabe 3:
- $\vec{q} = \overrightarrow{ O D_{(0,0)} } = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)$,
- $\vec{v} = \overrightarrow{ D_{(0,0)} D_{(1,0)} } = \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ und
- $\vec{w} = \overrightarrow{ D_{(0,0)} D_{(0,1)} } = \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$.
(a) Mit den folgenden Linearkombinationen werden Drohnenpunkte beschrieben. Welche sind das? Du musst die Koordinaten nicht berechnen, gib nur die Bezeichnung aus dem Applet ganz oben auf der Seite an.
- $\vec{x} = \vec{q} + 2 \cdot \vec{v} + 2 \cdot \vec{w}$
- $\vec{x} = \vec{q} + 3 \cdot \vec{v} + 1 \cdot \vec{w}$
- $\vec{x} = \vec{q} + 0 \cdot \vec{v} - \vec{w}$
- $\vec{x} = \vec{q} + (-2) \cdot \vec{v} + (-1) \cdot \vec{w}$
(b) Gib die Linearkombinationen auch im Applet aus Aufgabe 3 ein, z.B. so: „q + 2v + 2w“. Erkläre, wie der entsprechende Pfeil mit den Vektoren $\vec{q}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$ zusammenhängt.
(c) Entwickle eine Formel zur Berechnung des Vektors $\overrightarrow{ O D_{(r,s)} }$ aus den Vektoren $\vec{q}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$.
(d) Die folgenden drei Linearkombinationen passen nicht zu Drohnen aus dem Bild oben. Erkläre, was hier falsch ist. Man könnte eine der Gleichungen immerhin als „fast richtig“ bezeichnen; erkläre, was damit gemeint ist.
- $\vec{x} = 2 \cdot \vec{v} + 2 \cdot \vec{w}$
- $\vec{x} = \vec{q} + 2.5 \cdot \vec{v} + 1.5 \cdot \vec{w}$
- $\vec{x} = 3\cdot \vec{q} + 2 \cdot \vec{v} + 2 \cdot \vec{w}$
