Eine äquivalente Bedingung
Lineare (Un-) Abhängigkeit mit Rundreisen charakterisieren
Wir betrachten einen Fall, in dem die drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ linear abhängig sind. Sie spannen dann keinen dreidimensionalen Körper auf.
Zum Herunterladen: spat2.ggb
Im vorliegenden Fall gilt:
$\vec{w} = 2\vec{u} + \vec{u}$
Diese Beziehung lässt sich äquivalent umformen:
$2\vec{u} + \vec{u} + (-1)\vec{w} = 0$
Diese neue Beziehung lässt sich als Rundreise interpretieren.
Zum Herunterladen: linearunabhaengig1.ggb
Eine solche Rundreise lässt sicher immer dann erzeugen, wenn die drei Vektoren linear abhängig sind. Umgekehrt lässt sich aus der Existenz einer Rundreise erschließen, dass die drei Vektoren linear abhängig sind. Wir präzisieren diesen Zusammenhang in folgendem Satz.
Satz
Drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sind linear abhängig genau dann, wenn es reelle Zahlen $r, s, t$ gibt – die nicht alle gleich 0 sind -, so dass man mit den drei Vektoren eine Rundreise der Gestalt $r\vec{u} + s\vec{v} + t\vec{w} = \vec{0}$ bilden kann.
Wenn die Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ linear abhängig sind, dann hat die Vektorgleichung $r\vec{u} + s\vec{v} + t\vec{w} = \vec{0}$ also eine Lösung, bei der mindestens eine der drei reellen Zahlen $r, s, t$ ungleich 0 ist.
Da man die Vektorgleichung $r\vec{u} + s\vec{v} + t\vec{w} = \vec{0}$ immer mit $r=0; s=0; t=0$ lösen kann, lässt sich umgekehrt sagen:
Satz
Drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sind linear unabhängig genau dann, wenn die Vektorgleichung $r\vec{u} + s\vec{v} + t\vec{w} = \vec{0}$ nur die Lösung $r=0; s=0; t=0$ hat.
