Eine äquivalente Bedingung

Lineare (Un-) Abhängigkeit mit Rundreisen charakterisieren

Wir betrachten einen Fall, in dem die drei Vektoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ linear abhängig sind. Sie spannen dann keinen dreidimensionalen Körper auf.

Zum Herunterladen: spat2.ggb

Im vorliegenden Fall gilt:

$\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$

Diese Beziehung lässt sich äquivalent umformen:

$2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}+(-1)\overrightarrow{w}=0$

Diese neue Beziehung lässt sich als Rundreise interpretieren.

Zum Herunterladen: linearunabhaengig1.ggb

Eine solche Rundreise lässt sicher immer dann erzeugen, wenn die drei Vektoren linear abhängig sind. Umgekehrt lässt sich aus der Existenz einer Rundreise erschließen, dass die drei Vektoren linear abhängig sind. Wir präzisieren diesen Zusammenhang in folgendem Satz.

Wenn die Vektoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ linear abhängig sind, dann hat die Vektorgleichung $r\overrightarrow{u}+s\overrightarrow{v}+t\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}$ also eine Lösung, bei der mindestens eine der drei reellen Zahlen $r,s,t$ ungleich 0 ist.

Da man die Vektorgleichung $r\overrightarrow{u}+s\overrightarrow{v}+t\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}$ immer mit $r=0;s=0;t=0$ lösen kann, lässt sich umgekehrt sagen: