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Überprüfung – Punktprobe und Schnittprobleme

Punktprobe

Aufgabe 1 – Punktprobe im Kopf

Eine Ebene ist mit folgender Ebenengleichung festgelegt worden.

$E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

Überprüfe (im Kopf), ob folgende Punkte in der Ebene $E$ liegen.

  • $A(3|1|0)$
  • $B(3|0|5)$
  • $C(2|2|2)$
  • $D(0|4|4)$

Aufgabe 2 – Fehlersuche bei einer Punktprobe

Gegeben ist folgende Ebene $E$:

$E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

In der folgenden Rechnung hat sich ein Fehler eingeschlichen. Suche diesen Fehler und führe die Überlegungen korrekt zu Ende.

Rechnung ein-/ausblenden

Liegt $X(0|1|4)$ in der Ebene $E$?

Schritt 1: Objekte rechnerisch beschreiben. Dieser Schritt muss nicht ausgeführt werden, da eine Ebenengleichung vorgegeben ist.

Schritt 2: Die Bedingung „Punkt liegt in der Ebene“ als Vektorgleichung darstellen.

$\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$

Schritt 3: Die Vektorgleichung in ein Gleichungssystem umwandeln.

$\begin{array}{lrcl} [1] &\quad 0 & = & 3 -2r - 2s \\ [2] &\quad 1 & = & 2r + s \\ [3] &\quad 4 & = & 5 + s \end{array}$

Schritt 4: Das Gleichungssystem lösen.

Auflösen von $[3]$ nach $s$ ergibt $s = -1$

Einsetzen von $s = -1$ in $[2]$ und Auflösen nach $r$ ergibt $r = 1$.

Das LGS hat somit die Lösung $(r; s) = (1; -1)$.

Schritt 5: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.

Der Punkt $X(0|1|4)$ liegt folglich in der Ebene $E$.

Schnitt Ebene-Gerade; Lagebeziehungen

Aufgabe 3

Gegeben sind eine Ebene $E$ und drei Geraden $g$, $h$ und $i$ mit folgenden Gleichungen:

$E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

$i: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

Gesucht sind jeweils die Schnittpunkte der Geraden $g$, $h$ und $i$ mit der Ebene $E$.

(a) Versuche zuerst, dir die Lage der geometrischen Objekte vorzustellen. Dann kannst du die jeweilige Lagebeziehung direkt erschließen und begründen.

(b) Überprüfe die Ergebnisse aus (a) auch rechnerisch.

🔑 Kontrollergebnisse
  • $g$ schneidet $E$ im Punkt $P(1|4|2)$.
  • $h$ schneidet $E$ nicht. Es gibt daher keine Schnittpunkte.
  • $i$ verläuft in der Ebene $E$. Es gibt daher unendlich viele Schnittpunkte. Jeder Punkt auf $i$ ist somit ein Schnittpunkt.

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