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Überprüfung – Punktprobe und Schnittprobleme

Punktprobe

Aufgabe 1 – Punktprobe im Kopf

Eine Ebene ist mit folgender Ebenengleichung festgelegt worden.

$E : \vec{x} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ (mit $r, s \in R$ )

Überprüfe (im Kopf), ob folgende Punkte in der Ebene $E$ liegen.

$A (3 | 1 | 0)$
$B (3 | 0 | 5)$
$C (2 | 2 | 2)$
$D (0 | 4 | 4)$

Aufgabe 2 – Fehlersuche bei einer Punktprobe

Gegeben ist folgende Ebene $E$ :

$E : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ (mit $r, s \in R$ )

In der folgenden Rechnung hat sich ein Fehler eingeschlichen. Suche diesen Fehler und führe die Überlegungen korrekt zu Ende.

Rechnung ein-/ausblenden

Liegt $X (0 | 1 | 4)$ in der Ebene $E$ ?

Schritt 1: Objekte rechnerisch beschreiben. Dieser Schritt muss nicht ausgeführt werden, da eine Ebenengleichung vorgegeben ist.

Schritt 2: Die Bedingung „Punkt liegt in der Ebene“ als Vektorgleichung darstellen.

$(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$

Schritt 3: Die Vektorgleichung in ein Gleichungssystem umwandeln.

$\begin{array}{lrcl} [1] & 0 & = & 3 - 2 r - 2 s \\ [2] & 1 & = & 2 r + s \\ [3] & 4 & = & 5 + s \end{array}$

Schritt 4: Das Gleichungssystem lösen.

Auflösen von $[3]$ nach $s$ ergibt $s = - 1$

Einsetzen von $s = - 1$ in $[2]$ und Auflösen nach $r$ ergibt $r = 1$ .

Das LGS hat somit die Lösung $(r; s) = (1; - 1)$ .

Schritt 5: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.

Der Punkt $X (0 | 1 | 4)$ liegt folglich in der Ebene $E$ .

Schnitt Ebene-Gerade; Lagebeziehungen

Aufgabe 3

Gegeben sind eine Ebene $E$ und drei Geraden $g$ , $h$ und $i$ mit folgenden Gleichungen:

$E : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$ (mit $r, s \in R$ )

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ (mit $t \in R$ )

$h : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ (mit $t \in R$ )

$i : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ (mit $t \in R$ )

Gesucht sind jeweils die Schnittpunkte der Geraden $g$ , $h$ und $i$ mit der Ebene $E$ .

(a) Versuche zuerst, dir die Lage der geometrischen Objekte vorzustellen. Dann kannst du die jeweilige Lagebeziehung direkt erschließen und begründen.

(b) Überprüfe die Ergebnisse aus (a) auch rechnerisch.

🔑 Kontrollergebnisse

$g$ schneidet $E$ im Punkt $P (1 | 4 | 2)$ .
$h$ schneidet $E$ nicht. Es gibt daher keine Schnittpunkte.
$i$ verläuft in der Ebene $E$ . Es gibt daher unendlich viele Schnittpunkte. Jeder Punkt auf $i$ ist somit ein Schnittpunkt.