Anwendung – Schattenkonstruktion

Simulation der Pyramide im Louvre

Das Louvre-Museum möchte eine 3D-Simulation seines Gebäudes erstellen. Natürlich soll dabei auch die Glaspyramide im Eingangsbereich (mit ihren kleineren Partnern) abgebildet werden.

Damit alles möglichst realitätsnah aussieht, soll auch die Lichteinstrahlung und der dabei erzeugte Schatten berücksichtigt werden.

Schattenkonstruktion als Schnittproblem

Bei der Schattenkonstruktion muss der Schattenpunkt $S'$ zur Pyramidenspitze $S$ konstruiert werden. Dieser Punkt $S'$ ergibt sich, wenn man den Schnittpunkt der Geraden $g$ (die den Lichtstrahl durch Punkt $S$ beschreibt) mit der Ebene $E_{12}$ (die die Bodenfläche beschreibt) bestimmt.

Wir nutzen die folgenden Ausgangsdaten:

• Die Pyramide wird aus den Eckpunkten $A(5|0|0)$, $B(5|5|0)$, $C(0|5|0)$, $D(0|0|0)$ und $S(2.5|2.5|3)$ gebildet.
• Die Lichteinstrahlung wird mit dem Vektor $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ -2 \end{array}\right)$ beschrieben.

Aufgabe 1

Bestimme den Schattenpunkt möglichst selbstständig. Kontrolliere gegebenenfalls mit den Zwischenergebnissen unter der Aufgabe.

Zum Herunterladen: schatten1.ggb

💡 Hilfestellung für die rechnerische Beschreibung der Objekte

Naheliegend (aber nicht zwingend) sind folgende Gleichungen:

• $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2.5 \\ 2.5 \\ 3 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ -2 \end{array}\right) $ (mit $t \in \mathbb{R}$)
• $E_{12}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

💡 Hilfestellung für die nötige Vektorgleichung

Bedingung „$g$ schneidet $E_{12}$“ als Vektorgleichung:

$\left(\begin{array}{c} 2.5 \\ 2.5 \\ 3 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$

💡 Hilfestellung für das Aufstellen des LGS

Die Vektorgleichung des Tipps darüber führt zu diesem LGS:

$\begin{array}{lrcr} [1] &\quad 2.5 + 3t & = & r \\ [2] &\quad 2.5 - 4t & = & s \\ [3] &\quad 3 - 2t & = & 0 \end{array}$

💡 Hilfestellung zur Lösung des LGS

Auflösen von $[3]$ nach $t$ und Einsetzen von $t$ in $[1]$ und $[2]$ ergibt: $r = 7$, $s = -3.5$, $t = 1.5$.

💡 Hilfestellung zur Interpretation des Ergebnisses und zur Berechnung des Schnittpunkts

Das das LGS eindeutig lösbar ist, gibt es einen eindeutigen Schnittpunkt von Gerade und Ebene.

Die Koordinaten erhält man durch Einsetzen der Parameterwerte in die Ebenengleichung bzw. die Geradengleichung. Der Schattenpunkt liegt bei $S'(7|-3.5|0)$.

Aufgabe 2

Kontrolliere deine Lösung mit dem folgenden Computeralgebrasystem:

Zum Herunterladen: lgs_schatten1.ggb

Aufgabe 3

A. hat die Aufgabe ohne ein CAS gelöst und ganz schön gestöhnt. B. wundert sich – schließlich war die Ebenengleichung doch recht angenehm zu bearbeiten. Er schaut nach und ist irritiert, als er bei A. Folgendes liest:

$E_{12}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2.9 \\ 6.444 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -\pi \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 9.6 \\ \frac{1}{81} \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

(a) Vergleiche mit deiner eigenen Lösung und den Ergebnissen von oben in Schritt 1. Vollziehe nach, ob A.s Ebenengleichung richtig ist.

(b) Begründe, warum es A. so schwer gefallen ist, den Schnittpunkt zu bestimmen. Was sollte man deshalb bei der mathematischen Beschreibung der Ebene beachten?