Eine Bedingung für den Regelfall
Sonderfälle beschreiben
Es gibt Fälle, in denen 3 Vektoren keinen dreidimensionalen Körper aufspannen. Das Applet zeigt einen solchen Fall.
Zum Herunterladen: spat2.ggb
Im letzten Abschnitt hast du weitere solche Fälle betrachtet, u.a. diese Fälle:
- $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$
- $\vec{w} = \vec{u} - \vec{v}$
- $\vec{v} = \vec{u} + 2\vec{w}$
- $\vec{u} = 2\vec{v} - 3\vec{w}$
- $\vec{u} = 2\vec{v} - 3\vec{w}$
- $\vec{w} = \vec{u} + 0\vec{v}$
Gemeinsam ist all diesen Fällen, dass sich einer der drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt. In diesen Fällen liefert der Vektor, der eine Linearkombination der beiden anderen ist, keine neue Richtungsinformation. Das entstehende Gebilde bleibt zweidimensional – oder sogar eindimensional, wenn die beiden anderen Vektoren Vielfache voneinander sind. In Analogie zum Fall zweier Vektoren beschreiben wir eine solche Vektorkonstellation mit dem Begriff „linear abhängig“.
Drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sind linear abhängig genau dann, wenn mindestens einer der Vektoren sich als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen lässt. Andernfalls sind sie linear unabhängig.
Aufgabe 1: 3 linear abhängige Vektoren
Konstruiere selbst Beispiele für 3 linear abhängige Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$.
Aufgabe 2: Spaterzeugung
Formuliere eine Bedingung für die Spaterzeugung mit Hilfe des Begriffs „linear (un)abhängig“.
Aufgabe 3: 2 linear abhängige Vektoren
Im Kapitel Parallelität von Vektoren haben wir den Begriff „linear abhängig“ für den Fall von zwei Vektoren so eingeführt: Zwei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}$ sind linear abhängig genau dann, wenn mindestens einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen Vektors ist. Begründe, dass man den Fall von zwei Vektoren (in Analogie zum Fall von drei Vektoren) auch so beschreiben könnte:
Zwei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}$ sind linear abhängig genau dann, wenn mindestens einer der Vektoren eine Linearkombination des anderen Vektors ist.
