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Ein rechnerisches Verfahren

Systematisch bei der Untersuchung linearer Abhängigkeit vorgehen

Wir untersuchen weiterhin folgende Vektorkonstellation auf lineare Abhängigkeit.

Zum Herunterladen: linearunabhaengig2.ggb

Ziel ist es zu überprüfen, ob es eine Rundreise mit den vorgegebenen Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ gibt.

Vorgehensweise

Schritt 1: Eine Bedingung für eine Rundreise in Form einer Vektorgleichung aufstellen.
Schritt 2: Die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem umwandeln.
Schritt 3: Das Gleichungssystem lösen.
Schritt 4: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.

Aufgabe 1: Eine Bedingung für eine Rundreise in Form einer Vektorgleichung aufstellen

Erläutere kurz, wie man zur folgenden Bedingung (als Vektorgleichung) gelangt.

$r \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ .

Aufgabe 2: Die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem umwandeln

Erkläre, wie man die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem überführt.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & 4 r & + & 2 s & + & t & = & 0 \\ [2] & 3 r & - & s & - & 3 t & = & 0 \\ [3] & - 2 r & + & 2 s & + & 4 t & = & 0 \end{array}$

Aufgabe 3: Das Gleichungssystem lösen

Das Lösen des linearen Gleichungssystems überlassen wir einem Computeralgebrasystem.

(a) Gib in Zeile 4 den Befehl „Löse({G1, G2, G3}, {r, s, t})“ ein und bestätige mit der Enter-Taste, um das LGS zu lösen.

(b) Als Ergebnis erhält man hier: ${{r = \frac{1}{2} t, s = \frac{- 3}{2} t, t = t}}$ Deute das Ergebnis. Setze hierzu für $t$ Werte ein, z.B. $t = 1$ , $t = - 1$ , ...

Zum Herunterladen: lgs_lineareabhaengigkeit1.ggb

Aufgabe 4: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten

Welchen Schluss kannst man aus dem Ergebnis aus Aufgabe 3 ziehen: Sind die drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ linear abhängig? Überprüfe dein Ergebnis mit dem Applet.

🔑 Kontrollergebnis

Die drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sind linear abhängig. Man kann z.B. folgende Rundreise erstellen:

$0.5 \vec{u} - 1.5 \vec{v} + \vec{w} = 0$

Es gibt unendlich viele Rundreisen. Möglich wäre z.B. auch:

$- 0.5 \vec{u} + 1.5 \vec{v} - \vec{w} = 0$

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