Ein rechnerisches Verfahren
Systematisch bei der Untersuchung linearer Abhängigkeit vorgehen
Wir untersuchen weiterhin folgende Vektorkonstellation auf lineare Abhängigkeit.
Zum Herunterladen: linearunabhaengig2.ggb
Ziel ist es zu überprüfen, ob es eine Rundreise mit den vorgegebenen Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ gibt.
Vorgehensweise
- Schritt 1: Eine Bedingung für eine Rundreise in Form einer Vektorgleichung aufstellen.
- Schritt 2: Die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem umwandeln.
- Schritt 3: Das Gleichungssystem lösen.
- Schritt 4: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.
Aufgabe 1: Eine Bedingung für eine Rundreise in Form einer Vektorgleichung aufstellen
Erläutere kurz, wie man zur folgenden Bedingung (als Vektorgleichung) gelangt.
$r \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$.
Aufgabe 2: Die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem umwandeln
Erkläre, wie man die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem überführt.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 4r &+& 2s &+& t & = & 0 \\ [2] &\quad 3r &-& s &-& 3t & = & 0 \\ [3] &\quad -2r &+& 2s &+& 4t & = & 0 \\ \end{array}$
Aufgabe 3: Das Gleichungssystem lösen
Das Lösen des linearen Gleichungssystems überlassen wir einem Computeralgebrasystem.
(a) Gib in Zeile 4 den Befehl „Löse({G1, G2, G3}, {r, s, t})“ ein und bestätige mit der Enter-Taste, um das LGS zu lösen.
(b) Als Ergebnis erhält man hier: $\{\{r=\frac{1}{2}t, s=\frac{-3}{2}t, t=t \}\}$ Deute das Ergebnis. Setze hierzu für $t$ Werte ein, z.B. $t=1$, $t=-1$, ...
Zum Herunterladen: lgs_lineareabhaengigkeit1.ggb
Aufgabe 4: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten
Welchen Schluss kannst man aus dem Ergebnis aus Aufgabe 3 ziehen: Sind die drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ linear abhängig? Überprüfe dein Ergebnis mit dem Applet.
