Zusammenfassung – Ebenengleichung in Parameterform
Die Grundidee
Eine Ebene (im 3D-Raum) ist eine Menge von Punkten, die in einer ganz bestimmten Weise angeordnet sind. Die Gesamtheit dieser Punkte kann man mit Hilfe von drei Vektoren – einem Stützvektor und zwei Spannvektoren – beschreiben
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Das Applet zeigt die Bestandteile, die man zur Beschreibung einer Ebene nutzt, und ihr Zusammenwirken.
- Der Vektor $\vec{q} = \overrightarrow{ OQ }$ ist ein Stützvektor der Ebene $E$ und führt vom Koordinatenursprung zu einem Punkt der Ebene.
- Die Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ sind zwei Spannvektoren zur Ebene $E$. Sie spannen die Ebene auf in dem Sinn, dass man mit ihnen vom Stützpunkt aus jeden Punkt der Ebene erreichen kann. Hierzu müssen sie linear unabhängig sein.
- Die Parameter $r$ und $s$ dienen dazu, die Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ zu vervielfachen.
- Der Vektor $\vec{x}$ ist eine Linearkombination aus dem Stützvektor und den Vielfachen der Spannvektoren und führt vom Ursprung zu einem Punkt $X$ der Ebene $E$. Der Vektor $\vec{x}$ beschreibt somit den Ortsvektor zu einem Punkt $X$ der Ebene $E$.
Beachte, dass im Applet nur ein Ausschnitt der – sich in alle Richtungen unendlich ausdehnenden – Ebene zu sehen ist.
Eine Präzisierung
Das oben beschriebene Verfahren zur vektoriellen Charakterisierung von Ebenen wird mit der folgenden Ebenengleichung präzisiert.
Vektorielle Ebenengleichung
Gegeben sind ein Stützvektor $\vec{q} = \overrightarrow{ OQ }$, der zu einem Punkt $Q$ einer Ebene $E$ führt, und zwei linear unabhängige Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ zur Ebene $E$. Dann gilt:
(1) Für alle reellen Zahlen $r$ und $s$ liegt der Punkt $X$ mit $\vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$ in der Ebene $E$. $\vec{x}$ ist hierbei der Ortsvektor $\overrightarrow{ OX }$, der vom Koordinatenursprung zum Punkt $X$ führt.
(2) Ist $X$ ein Punkt der Ebene $E$, so gibt es reelle Zahlen $r$ und $s$, so dass für $\vec{x} = \overrightarrow{ OX }$ gilt: $\vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$.
Ebenengleichung in Parameterform
Eine Ebene wird beschrieben durch die Gleichung:
$E: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
Denselben Zusammenhang kann man auch so formulieren:
Vektorielle Ebenengleichung
Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt in der Ebene $E$ mit einem Stützvektor $\vec{q}$ und zwei linear unabhängige Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$
genau dann, wenn
es reelle Zahlen $r$ und $s$ gibt, so dass $\vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$ gilt.
Beispiel einer Ebenenbeschreibung
Beispiel
$E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
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Durch Variation der Parameter $r$ und $s$ erhält man alle Punkte der Ebene. Beachte: Im Applet ist mit dem Schieberegler nur ein eingegrenzter Bereich der reellen Zahlen einstellbar. Mit der grünen Fläche ist auch nur ein Ausschnitt der Ebene verdeutlicht.
Variation einer Ebenengleichung
Die Parameter einer Ebenengleichung kann man auch anders benennen, ohne dass sich dadurch die Ebene ändert. Die Ebene $E$ im Beispiel oben lässt sich also genauso mit folgender Ebenengleichung beschreiben.
$E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + a \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + b \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $a, b \in \mathbb{R}$)
Bei der Wahl des Stützvektors und der Spannvektoren gibt es ebenfalls Spielräume:
- Der Stützvektor kann ein Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene sein. Es gibt also unendlich viele Möglichkeiten bei der Wahl des Stützvektors.
- Es gibt auch unendlich viele Möglichkeiten bei der Wahl der Spannvektoren. Sie müssen nur die Eigenschaft haben, dass man mit ihnen vom Stützpunkt aus jeden Punkt der Ebene erreichen kann.
Das folgende Applet zeigt eine weitere Ebenengleichung zur Ebene aus dem Beispiel oben.
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Aufstellen einer Ebenengleichung
Oft kommt es vor, dass man eine Gleichung zu einer Ebene bestimmen soll, die durch drei Punkte gegeben ist. Wichtig ist dabei, dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen.
Beispiel
Gegeben sind die Punkte $A(-0.5|2|4)$, $B(-1|3|4)$ und $C(-0.5|1|4.5)$. Gesucht sind Gleichungen zur Beschreibung der Ebene durch $A$, $B$ und $C$.
Es gibt unendlich viele Möglichkeiten zur Beschreibung dieser Ebene. Man kann sowohl den Stützvektor als auch den Richtungsvektor variieren. Im folgenden Applet führt der Stützvektor $\vec{a} = \overrightarrow{ OA }$ vom Koordinatenursprung zum Punkt $A$. Die Beiden Spannvektoren $\vec{v} = \overrightarrow{ AB }$ und $\vec{w} = \overrightarrow{ AC }$ verbinden den Stützpunkt $A$ mit den Punkte $B$ bzw. $C$. Bei dieser Wahl des Stütz- und der Spannvektoren erhält man folgende Ebenengleichung.
$E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
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