Einfache Beispiele am Würfel
Lage von Ebenen zueinander beschreiben
Du hast auf den vorangegangenen Seiten die Lagebeziehungen untersucht, die zwischen zwei Ebenen auftreten können. Wir verwenden folgende Fachbegriffe:
Definition
- Zwei Ebenen sind identisch, wenn jeder Punkt der einen Ebene auch ein Punkt der anderen Ebene ist.
- Zwei Ebenen sind (echt parallel), wenn es keine gemeinsamen Punkte der beiden Ebenen gibt.
- Zwei Ebenen sind schneidend, wenn sie weder identisch, noch parallel liegen.
Aufgabe 1
Das Applet unter der Aufgabe gibt eine Ebene vor, deren Position man verändern kann, indem man den Punkt $P$ im Koordinatensystem bewegt. Weitere Ebenen werden durch die Würfelseiten festgelegt. Jede der 6 Würfelseiten legt eine Ebene fest, die diese Würfelseite enthält, sich darüber hinaus aber unendlich weit ausdehnt.
(a) Beschreibe jeweils die Lagebeziehung der beiden Ebenen mit dem richtigen Fachbegriff:
- die Ebene durch $P$ und die Ebene durch $A,B,C,D$
- die Ebene durch $P$ und die Ebene durch $B,C,G,F$
- die Ebene durch $P$ und die Ebene durch $E,F,G,H$
(b) Wie viele Schnittpunkte gibt es bei den verschiedenen Lagebeziehung? Erläutere anhand des Applets. Welche geometrische Form hat das „Schnittgebilde“?
Zum Herunterladen: ebene_und_ebene.ggb
Schnittpunkte von zwei Ebenen rechnerisch bestimmen
Betrachte den Fall, der im Applet vorgegeben ist. Für die Ebenen kann man folgende Ebenengleichungen aufstellen:
- $E_P: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
- $E_{BCGF}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + y \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + z \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $y, z \in \mathbb{R}$)
Aufgabe 2
(a) Stelle das sich aus den Ebenengleichungen ergebende lineare Gleichungssystem auf, mit dem man die Schnittpunkte der beiden Ebenen bestimmen kann.
$\begin{array}{cc} [1] \quad & ... \\ [2] \quad & ... \\ [3] \quad & ... \end{array}$
(b) Erläutere den Aufbau des Gleichungssystems (Anzahl der Gleichungen; Anzahl der Variablen).
(c) Im vorliegenden Fall kann man direkt erschließen, dass $r=0$ gelten muss. Erläutere das. Begründe dann, dass die beiden Ebene sich in der Geraden $g$ schneiden.
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
Aufgabe 3
Fasse die Ergebnisse zu Lagebeziehungen zweier Ebenen mit dieser LearningApp zusammen. Übertrage dann die fertige Tabelle in dein Heft oder speichere dir einen Screenshot in deinen Unterlagen ab.
Quelle: LearningApps
Aufgabe 4
Vergleiche die Bestimmung der Schnittpunkte von zwei Ebenen mit der Bestimmung der Schnittpunkte einer Geraden mit einer Ebene. Welche Analogien gibt es bei der Vorgehensweise? Welche rechnerischen Schwierigkeiten treten bei zwei Ebenen auf?
