Gruppe 2: Lochbohrung
Wo muss das Loch gebohrt werden?
Die Metallstange, an der die Stahlseile aufgehängt werden, benötigt ein Loch in der Glasscheibe. Damit dieses Loch bereits in der Werkstatt gebohrt werden kann, muss die genaue Position im Vorfeld berechnet werden.
- Die Glasscheibe wird durch die Eckpunkten $A(5|-1|1)$, $B(0|3|0)$ und $C(0|-1|3)$ festgelegt.
- Die Stange hat die Endpunkte $F(0.8|-1.4|0)$ und $G(1.1|0.4|3)$.
Leitfrage
Wo muss sich das Loch in der Glasscheibe befinden? Welche Schritte sind nötig, um solche Fragestellungen zu beantworten?
Aufgabe 1 (Erarbeitung)
Bearbeite die folgenden Schritte möglichst ohne Hilfestellung. Im Notfall findest du Tipps unterhalb des Applets.
(a) Erkläre kurz, warum das Applet unter der Aufgabe nicht geeignet ist, um die Leitfrage zu beantworten.
(b) Beschreibe die Glasscheibe sowie die Stange als mathematische Objekte.
(c) Entwickle einen Ansatz, um die Fragestellung zu beantworten.
(d) Löse das Problem. Achtung, das ist wirklich nicht einfach.
Zum Herunterladen: glasdach-stange.ggb
💡 Hilfestellung zu Teil (b)
Die Glasscheibe sollten wir als Ebene beschreiben. Hierfür wählen wir einen der drei gegebenen Punkte, z.B. $A$, als Stützpunkt. Dann sind $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ die beiden Spannvektoren. Die Stange kann als Gerade beschrieben werden. Nutze für die Geradengleichung $F$ als Stützpunkt und $\overrightarrow{FG}$ als Richtungsvektor.
💡 Hilfestellung zu Teil (c)
Wir haben nun zwei mathematische Objekte – eine Ebene und eine Gerade. Die Frage ist, wo sich Gerade und Ebene schneiden. Genau wie beim Schneiden zweier Geraden stellen wir hierfür eine Gleichung auf: Auf der einen Seite des „$=$“ steht die vektorielle Darstellung der Ebene, auf der anderen die vektorielle Darstellung der Geraden. Diese Gleichung muss dann mithilfe eines LGS gelöst werden, um die Parameter $t$ (von der Geraden) sowie $r$ und $s$ (von der Ebene) zu berechnen.
💡 Hilfestellung zu Teil (d)
Eine sinnvolle Wahl für die Gleichungen wäre:
- $E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 5 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$) und
- $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0.8 \\ -1.4 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0.3 \\ 1.8 \\ 3 \end{array}\right) $ (mit $t \in \mathbb{R}$).
Das führt zu folgendem LGS:
$\begin{array}{cccccc}
[1] &\quad 5 & -5r & -5 s & = & 0.8 &+ 0.3t \\
[2] &\quad -1 & +4r & & = & -1.4 & + 1.8t \\
[3] &\quad 1 & -r & +2 s & = & & + 3t
\end{array}$
Wenn du Probleme damit hast, diese Gleichung zu lösen, ist das nicht schlimm. Mache dann weiter mit Aufgabe 2.
Aufgabe 2 (Vertiefung)
(a) Du hast nun eine Schnittpunktberechnung zwischen einer Geraden und einer Ebene durchgeführt. Nenne die Schritte, die hierfür nötig waren.
(b) In einem der Schritte aus (a) musstest du ein LGS lösen. Vielleicht bist du daran sogar gescheitert. Ein LGS zu lösen, geht immer nach demselben Vorgehen; deshalb kann sie der Computer gut übernehmen. Klicke auf den Knopf „CAS“, um zu lernen, wie das geht.
CAS
„CAS“ steht für „Computeralgebrasystem“. Das sind mächtige Programme, die Mathematikerinnen und Mathematikern viele Aufgaben abnehmen können. Darunter auch das Lösen eines LGS. GeoGebra hat auch ein CAS-Modul, in dem man Gleichungen eingeben und lösen lassen kann.
Im folgenden Applet wurde das LGS für die vorliegende Situation eingegeben.
- Mache dir klar, welche Geradengleichung in Parameterform hier verwendet wird. Unterscheidet sie sich von deiner? Falls ja, ändere sie gerne ab.
- Mache dir klar, welche Ebenengleichung in Parameterform hier verwendet wird. Unterscheidet sie sich von deiner? Falls ja, ändere sie gerne ab.
- Gib den Befehl „Löse({G1,G2,G3},{t,r,s})“ in Zeile 4 ein und bestätige mit Enter. Interpretiere das Ergebnis.
- Nutze das Ergebnis, um den Schnittpunkt zu berechnen.
Zum Herunterladen: lgs.ggb
(c) „Wenn es doch Computeralgebrasysteme gibt, braucht es keine Mathematikerinnen und Mathematiker mehr!“ Nimm Stellung.
