Übungen – Punktprobe und Schnittprobleme

Punktprobe

Aufgabe 1 – Drohnenshow ★

Bei einer Drohnenshow sollen alle Drohnen eine Ebene bilden.

Die Ebene ist mit folgender Ebenengleichung festgelegt worden.

$E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

Bei der Programmierung der Drohnen haben sich einige Fehler eingeschlichen. Kontrolliere mit Hilfe von Punktproben, ob alle folgenden Drohnenpunkte tatsächlich in der Ebene $E$ liegen.

• $D(-2|6|4)$
• $D(1|-2|5.5)$
• $D(-7|11|6)$

Zum Herunterladen: drohnen1.ggb

Aufgabe 2 – Ein Lageproblem ★★

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 6, der wie im Applet gezeigt im Koordinatensystem liegt. Durch die drei Eckpunkte $B$, $D$, und $E$ wird eine Ebene $E_{BDE}$ festgelegt.

(a) Liegt der Mittelpunkt $M$ des Würfels in der Ebene $E_{BDE}$? Stelle erst eine Vermutung auf und überprüfe sie dann mit einer Punktprobe.

(b) Überprüfe analog, ob $T(1|1|1)$ oder $S(2|2|2)$ in der Ebene $E_{BDE}$ liegen.

Zum Herunterladen: wuerfel_mit_ebene.ggb

Schnitt Ebene-Gerade

Aufgabe 3 – Ein einfaches Glasdach ★

Wir betrachten eine ähnliche Situation wie in der Erkundung – die Konstruktion wurde aber deutlich vereinfacht.

Für die Berechnungen nutzen wir die folgenden Ausgangsdaten:

• Die Glasscheibe wird durch die Eckpunkten $A(3|0|0)$, $B(0|3|0)$ und $C(-1|-1|3)$ festgelegt.
• Die Stange hat die Endpunkte $F(0|0|0)$ und $G(0|0|3.6)$.

(a) Bestimme den Punkt $S$, an dem das Loch für die Stange in die Glasplatte gebohrt werden muss.

Zum Herunterladen: glasdach1.ggb

(b) Nutze das CAS-Tool, um deine Rechnungen zu kontrollieren.

Zum Herunterladen: lgs_glasdach1.ggb

Aufgabe 4 – Lichteinfall an einem Würfel ★★

Ein Lichtstrahl fällt auf einen Glaswürfel.

Nutze die folgenden Ausgangsdaten:

• Der Würfel hat die Kantenlänge $2$ und liegt wie im Applet gezeigt im Koordinatensystem.
• Der Lichtstrahl geht durch $P(0|0|5)$ und trifft im Punkt $Q(2.5|2|0)$ auf die Bodenfläche.

(a) Schätze mit Hilfe des Applets die Koordinaten der Schnittpunkte $I$ und $J$, in denen der Lichtstrahl die Würfelflächen trifft, ab.

(b) Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Punkte $I$ und $J$.

(c) Überprüfe die Ergebnisse anhand der Abschätzungen in (a).

Zum Herunterladen: wuerfel_und_gerade.ggb

Aufgabe 5 – Lichteinfall an einer Glaspyramide ★★★

Ein Lichtstrahl fällt auf eine Glaspyramide.

Nutze die folgenden Ausgangsdaten:

• Eine Glaspyramide wird aus den Eckpunkten $A(5|0|0)$, $B(5|5|0)$, $C(0|5|0)$, $D(0|0|0)$ und $S(2.5|2.5|3)$ gebildet.
• Der Lichtstrahl geht durch $L(-0.5|6.5|5.4)$ und hat die Richtung $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0.5 \\ 0.6 \end{array}\right)$.

(a) Bestimme den Punkt $G$, in dem der Lichtstrahl eine Seitenfläche der Glaspyramide trifft, sowie den Punkt $H$, in dem der Lichtstrahl die Bodenfläche der Pyramide trifft.

(b) Die Verbindung von $C$ zu $S$ wird mit einem undurchsichtigen Stahlträger hergestellt. Wie verläuft der Schatten dieses Stahlträgers, wenn das Licht parallel mit dem oben angegeben Richtungsvektor einfällt? Überlege dir ein Verfahren, wie man diesen Schatten konstruieren kann. Führe das Verfahren aus.

Zum Herunterladen: schatten3.ggb