Die Grundidee

Ein räumliches Gebilde aufspannen

Wir betrachten eine Situation, in der drei Vektoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ ein räumliches Gebilde – einen Spat – aufspannen sollen.

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Bei den im Applet vorgegebenen Vektoren $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}0.5\\ 2\\ 0\end{array}\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$, $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ erzeugen diese Vektoren tatsächlich einen Spat.

Anders verhält es sich, wenn die drei Vektoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ so vorgegeben werden.

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Die Vektoren $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}0.5\\ 2\\ 0\end{array}\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$, $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 1\end{array}\right)$ erzeugen hier kein räumliches Gebilde. Das liegt daran, dass sie in folgendem Sinn voneinander abhängig sind:

Im vorliegenden Fall lässt sich $\overrightarrow{w}$ als Linearkombination $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$ darstellen. Der Vektor $\overrightarrow{w}$ liefert infolgedessen keine zusätzliche Raumrichtung, wenn bereits zwei Richtungen durch $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ gegeben sind.

Eine solche Situation tritt immer dann ein, wenn einer der drei Vektoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ sich als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen lässt.