Zusammenfassung – Punktprobe
Das Problem
Punktproben bei Ebenen liegt ein analoges Problem wie bei Geraden zu Grunde.
Bei einer Punktprobe geht es darum rechnerisch zu überprüfen, ob ein vorgegebener Punkt in einer Ebene mit vorgegebener Ebenengleichung liegt oder nicht.
Lösungsansatz
Bei einer Punktprobe nutzt man auf die zentrale Eigenschaft einer vektoriellen Ebenengleichung aus:
Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt in der Ebene $E$ mit einem Stützvektor $\vec{q}$ und zwei linear unabhängige Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ genau dann, wenn es reelle Zahlen $r$ und $s$ gibt, so dass $\vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$ gilt.
Beispiel
Geg.:
- Ebene $E$ mit E: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -0.5 \\ 0 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
- Punkt $X(-1.75|3.5|4.5)$ bzw. $X(-0.5|3.5|3)$
Ges.: Liegt der Punkt $X$ in der Ebene $E$?
Mit dem Applet kann man versuchen, passende Werte für die Parameter $r$ und $s$ zu finden.
Zum Herunterladen: punktprobe2.ggb
Wenn man kein Applet zur Verfügung hat, dann benötigt man ein rechnerisches Verfahren zur Punktprobe. Außerdem liefert das Applet nur gerundete Werte, sodass man ggf. nicht erkennen kann, ob ein Punkt in der Ebene liegt oder „knapp daneben“.
Ein rechnerisches Verfahren
Das Vorgehen bei einer Punktprobe bei Ebenen ist ganz analog zum Vorgehen bei einer Punktprobe bei Geraden:
- Schritt 1: Ggf. eine Ebenengleichung aufstellen.
- Schritt 2: Die Bedingung „Punkt liegt in der Ebene“ als Vektorgleichung darstellen.
- Schritt 3: Die Vektorgleichung in ein Lineares Gleichungssystem (LGS) umwandeln.
- Schritt 4: Das LGS lösen.
- Schritt 5: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.
Beispiel
Liegt $X(-1.75|3.5|4.5)$ in der obengenannten Ebene?Zusammenhang zum LGS
Das LGS der Punktprobe einer Ebene verfügt über zwei Variablen, weil eine Ebene ein zweidimensionales Objekt ist (und entsprechend die Ebenengleichung zwei Parameter besitzt) und der Punkt ein nulldimensionales Objekt ist.
Ein LGS mit drei Gleichungen und zwei Variablen kann keine oder genau eine Lösung haben; das entspricht den Fällen „Punkt liegt nicht in der Ebene“ und „Punkt liegt in der Ebene“. Außerdem kann ein solches LGS auch unendlich viele Lösungen haben; das tritt aber bei Punktproben von Ebenen nicht auf – dafür müssten die beiden Spannvektoren linear abhängig gewählt sein, was nicht gestattet ist.
Eine alternative Sichtweise
Die zentrale Eigenschaft einer Ebenengleichung in Parameterform lässt sich auch so weiterentwickeln.
Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt in der Ebene $E$ mit Stützvektor $\vec{q}$ und zwei linear unabhängigen Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$
$\Leftrightarrow$
Es gibt reelle Zahlen $r$ und $s$, so dass $\vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$ gilt.
$\Leftrightarrow$
Es gibt reelle Zahlen $r$ und $s$, so dass $\underbrace{\vec{x} - \vec{q}}_{\substack{\overrightarrow{QX}}} = r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$ gilt.
$\Leftrightarrow$
$\underbrace{\vec{x} - \vec{q}}_{\substack{\overrightarrow{QX}}}$ ist eine Linearkombination der beiden Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$.
Eine Punktprobe kann man also auch so durchführen, indem man prüft, ob der Vektor $\underbrace{\vec{x} - \vec{q}}_{\substack{\overrightarrow{QX}}}$ von Stützpunkt $Q$ der Ebene zum Prüfpunkt $X$ eine Linearkombination der beiden Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ der Ebene ist.
