Gruppe 1: Untersuchung der Lampe
Liegt die Lampe auf der Scheibe?
Während tagsüber das Glasdach genügend Licht durchlässt, soll das Gebäude nachts mit einer Lampe erhellt werden. Der leitende Architekt möchte die Lampe dabei direkt in das Glasdach einfügen. Folgende Daten sind bekannt:
- Die Glasscheibe wird durch die Eckpunkten $A(5|-1|1)$, $B(0|3|0)$ und $C(0|-1|3)$ festgelegt.
- Die Lampe soll sich an der Position $L(1.25 | 0 | 1.5)$ befinden.
Leitfrage
Liegt die vorgesehene Lampen-Position in der Glasscheibe? Welche Schritte sind nötig, um solche Fragestellungen zu beantworten?
Aufgabe 1 (Erarbeitung)
Bearbeite die folgenden Schritte möglichst ohne Hilfestellung. Im Notfall findest du Tipps unterhalb des Applets.
(a) Erkläre kurz, warum das Applet unter der Aufgabe nicht geeignet ist, um die Leitfrage zu beantworten.
(b) Beschreibe die Glasscheibe als mathematisches Objekt.
(c) Entwickle einen Ansatz, um die Fragestellung zu beantworten.
(d) Löse das Problem.
Zum Herunterladen: glasdach-lampe.ggb
💡 Hilfestellung zu Teil (b)
Die Lampe ist bereits als Punkt beschrieben; damit können wir arbeiten. Die Glasscheibe sollten wir als Ebene beschreiben. Hierfür wählen wir einen der drei gegebenen Punkte, z.B. $A$, als Stützpunkt. Dann sind $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ die beiden Spannvektoren.
💡 Hilfestellung zu Teil (c)
Wir haben nun zwei mathematische Objekte – eine Ebene und ein Punkt. Die Frage ist, ob der Punkt auf der Ebene liegt. Wir müssen also eine Punktprobe durchführen. Genau wie bei Geraden stellen wir hierfür eine Gleichung auf: Auf der einen Seite des „$=$“ steht die vektorielle Darstellung der Ebene, auf der anderen der Ortsvektor des Punktes. Diese Gleichung muss dann mithilfe eines LGS gelöst werden, um die Parameter $r$ und $s$ zu berechnen.
💡 Hilfestellung zu Teil (d)
Eine sinnvolle Wahl für die Ebenengleichung wäre $E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 5 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$).
Das führt zu folgendem LGS:
$\begin{array}{ccccc}
[1] &\quad 5 & -5r & -5 s & = & 1.25 \\
[2] &\quad -1 & +4r & & = & 0 \\
[3] &\quad 1 & -r & +2 s & = & 1.5
\end{array}$
Stelle dann die zweite Gleichung nach $r$ um und setze das Ergebnis in die erste Gleichung ein. Du erhältst einen Wert für $s$. Denke daran, zum Schluss beide Werte auch in die dritte Gleichung einzusetzen.
Aufgabe 2 (Vertiefung)
(a) Du hast nun eine Punktprobe für Ebenen durchgeführt. Nenne die Schritte, die hierfür nötig waren. Beschreibe dabei auch, in welchem Schritt (und wie) man erkennt, ob der Punkt in der Ebene liegt oder nicht.
(b) In einem der Schritte aus (a) musstest du ein LGS lösen. Ein LGS zu lösen, geht immer nach demselben Vorgehen; deshalb kann sie auch der Computer leicht übernehmen. Klicke auf den Knopf „CAS“, um zu lernen, wie das geht.
CAS
„CAS“ steht für „Computeralgebrasystem“. Das sind mächtige Programme, die Mathematikerinnen und Mathematikern viele Aufgaben abnehmen können. Darunter auch das Lösen eines LGS. GeoGebra hat auch ein CAS-Modul, in dem man Gleichungen eingeben und lösen lassen kann.
Im folgenden Applet wurde das LGS für eine Punktprobe – von einem minimal anderen Punkt – eingegeben.
- Mache dir klar, welcher Punkt hierbei betrachtet wird. Wie unterscheidet er sich vom Punkt $L$ aus der Aufgabe oben?
- Mache dir klar, welche Ebenengleichung in Parameterform hier verwendet wird. Unterscheidet sie sich von deiner? Falls ja, ändere sie gerne ab.
- Gib den Befehl „Löse({G1,G2,G3},{r,s})“ in Zeile 4 ein und bestätige mit Enter. Interpretiere das Ergebnis.
- Ändere nun die Gleichungen so um, dass sie zur Punktprobe von Punkt $L$ passen. Wie ändert sich das Ergebnis in Zeile 4? Interpretiere.
Zum Herunterladen: lgs.ggb
(c) „Wenn es doch Computeralgebrasysteme gibt, braucht es keine Mathematikerinnen und Mathematiker mehr!“ Nimm Stellung.
