Strukturierung – Schnittprobleme und Lineare Gleichungssysteme
Beziehungen zwischen geometrischen Objekten
Zielsetzung
Wir untersuchen die Beziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen. Dabei interessieren wir uns hier für die Fälle „Ebene-Punkt“, „Ebene-Gerade“ und – als Ausblick – „Ebene-Ebene“.
Ausprobier-Verfahren
Ein erster Ansatz, um das Problem zu lösen, ist es, durch Ausprobieren die Parameter in den Gleichungen zu variieren.
Aufgabe 1 (Einstieg)
(a) Unter der Aufgabe findest du zwei Applets. Beschreibe jeweils, welches mathematische Problem mit ihnen gelöst werden soll. Also: Welche Ebene, welche Gerade, welcher Punkt wird hier betrachtet?
(b) Finde durch Ausprobieren passende Parameter, um die Probleme zu lösen.
(c) Begründe, dass dieses Ausprobier-Verfahren nicht ausreichend ist. In welchen Fällen führt es nicht zum Erfolg?
Zum Herunterladen: punktprobe1.ggb
Zum Herunterladen: schnittpunkt1.ggb
Rechenverfahren und Lineare Gleichungssysteme
Wenn wir die Probleme – also die Punktprobe einer Ebene sowie die Schnittpunktberechnung Ebene-Gerade – rechnerisch lösen wollen, folgen dabei immer dieselben Schritte. Im Wesentlichen stimmen sie mit denen überein, die es auch bei der Punktprobe einer Gerade sowie der Schnittpunktberechnung Gerade-Gerade gab.
Aufgabe 2 (Erarbeitung/Sicherung)
Erinnere dich an die einzelnen Schnittprobleme, die du bisher gelöst hast. Welche Schritte waren hierfür nötig? Notiere sie dir ins Heft.
Aufgabe 3 (Erarbeitung)
Ein wichtiger Schritt bei allen Schnittproblemen stellt das Aufstellen und Lösen eines LGS dar. Diese Aufgabe betrachtet das genauer:
(a) Unter der Aufgabe findest du zwei Lineare Gleichungssysteme. Ordne zu, welches LGS zu welchem Problem gehört.
(b) Begründe, welches der Gleichungssysteme einfacher zu lösen ist.
(c) 🚀 Löse das einfachere LGS und vergleiche mit der Ausprobier-Lösung von oben.
LGS 1
$\begin{array}{ccccccc} [1] &\quad & -0.5r & -0.5s & = & -1.25 & \\ [2] &\quad 1 & + r & & = & 4 & -0.5t\\ [3] &\quad 4 & & + 0.5 s & = & 1.5 & \end{array}$
LGS 2
$\begin{array}{cccccc} [1] &\quad 0.75 & -r & -s & = & -1.45 \\ [2] &\quad -0.5 & + 2r & +0.5s & = & 2.7 \\ [3] &\quad 4 & & + 0.75 s & = & 4.6 \end{array}$
Aufgabe 4 (Sicherung)
(a) Bearbeite das folgende Applet und notiere dir die Zusammenhänge kurz ins Heft.
(b) „Der Aufbau des LGS hängt von der Dimension der beteiligten Objekte ab.“ Erkläre, was damit gemeint ist.
(c) 🚀 Wie muss ein LGS aussehen, mit dem man untersucht, ob (und ggf. wo) sich zwei Ebenen schneiden?
Aufgabe 5 (Vertiefung)
Man sollte in der Lage sein, ein einfaches LGS im Kopf zu lösen. Für ein kompliziertes LGS verwendet man aber in der Regel ein Computeralgebrasystem (CAS).
(a) Nutze das folgende CAS, um das Problem der Punktprobe zu lösen. Gib hierzu den Befehl „Löse({G1, G2, G3} , {r, s})“ ein und interpretiere das Ergebnis.
Zum Herunterladen: lgs_punktprobe1.ggb
(b) Nutze das folgende CAS, um das Schnittproblem Ebene-Gerade zu lösen. Gib hierzu die drei Gleichungen ein; nutze den Löse-Befehl und setze zum Schluss die erhaltenen Parameter-Werte in die ursprünglichen Gleichungen ein. Es genügt dabei, $t$ in die Gleichung von $g$ einzusetzen.
Zum Herunterladen: lgs.ggb
Mehr zum Lösen eines LGS
Du musst schon während der gesamten analytischen Geometrie lineare Gleichungssysteme lösen. Beispielsweise bei der Parallelität von Vektoren war das aber noch sehr einfach (nur eine Variable), beim Schnitt zweier Geraden wurde es schon etwas schwieriger (2 Variablen) und nun haben wir es sogar mit noch mehr Variablen zu tun.
Es ist deshalb ein guter Zeitpunkt, das Thema genauer zu betrachten:
- In den Grundlagen wird ein Verfahren vorgestellt, mit dem du auch komplizierte Lineare Gleichungssysteme lösen kannst.
- Dort findest du außerdem eine ausführliche Anleitung für das CAS-Tool von GeoGebra.
Weitergedacht 🚀
Die folgende Aufgabe zeigt vertiefende Zusammenhänge auf und ist nicht unbedingt nötig.
Aufgabe 6
Kann man auch folgende Bedingung für eine Punktprobe benutzen? Begründe.
Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt in der Ebene $E$ mit Stützvektor $\vec{q}$ und zwei linear unabhängigen Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ genau dann, wenn der Vektor $\vec{x} - \vec{q}$ eine Linearkombination der beiden Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ ist.
